正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

已知△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，tan(B+)=-，

(1)求角B的大小；

(2)若，a=2c，求b的值。

正确答案

解：(1)由，得，

∴，

∵0＜B＜π，

∴。

(2)由得，即ac=8，

∵a=2c，

∴a=4，c=2，

又，

∴。

题型：简答题

简答题

已知，△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=（1，1），，且m∥n。

（1）求A的大小；

（2）若a=1，，求S△ABC。

正确答案

解：（1）

∴

∵B，C为内角

∴

∴。

（2）由余弦定理，得b2+c2-a2=2bcosAc2=1

。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足2bcosA=（ccosA+acosC）

（1）求A的大小；

（2）若a=2，c=2，且b>c，求△ABC的面积；

正确答案

解：（1）由

运用正弦定理得：

即：

所以；

（2）由余弦定理：，又得 b=4

所以

也可利用正弦定理

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2-2cos2A=7．

（I）求角A的大小；

（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．

正确答案

（I）在△ABC中有B+C=π-A，由条件可得：4[1-cos（B+C）]-4cos2A+2=7，（1分）

又∵cos（B+C）=-cosA，∴4cos2A-4cosA+1=0．（4分）

解得cosA=，又A∈(0，π)，∴A=．（6分）

（II）由cosA=知=，即(b+c)2-a2=3bc．（8分）

又a=，b+c=3，代入得bc=2．（10分）

由 ⇒ 或．（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

(1)若sin(A+)=2cosA，求A的值；

(2)若cosA=，b=3c，求sinC的值．

正确答案

解：(1)由题设知，

从而，所以cosA≠0，，

因为0＜A＜π，所以。

(2)由，b=3c及a2=b2+c2-2bccosA，得a2=b2-c2，

故△ABC是直角三角形，且，

所以。

题型：简答题

简答题

已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且2cos2+cosA=0。

（1）求角A的值；

（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积。

正确答案

解：（1）由，得，即

∵A为为△ABC的内角，

∴。

（2）由余弦定理，得，

即，

∴。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（C+）+cos（C-）=，

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，且sinA=2sinB，求△ABC的面积。

正确答案

解：(1)因为，

故有，所以，

因为在△ABC中，0＜C＜π，所以。

(2)因为sinA=2sinB，所以a=2b，

又因为，

所以，解得b=2，

则a=4，所以。

题型：简答题

简答题

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A=sin(+B)sin(-B)+sin2B．

（Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若•=12，a=2，求b，c（其中b＜c）．

正确答案

（1）因为sin2A=（cosB+sinB)（cosB-sinB）+sin2B

=cos2B-sin2B+sin2B=

所以sinA=±．又A为锐角，所以A=

（2）由•=12可得，cbcosA=12 ①

由（1）知A=，所以cb=24 ②

由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，将a=2及①代入可得c2+b2=52③

③+②×2，得（c+b）2=100，所以c+b=10

因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的两根

解此方程并由c＞b知c=6，b=4

题型：简答题

简答题

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，点M、N分别在边AB和AC上（点M和点B不重合），将△AMN沿MN翻折到△A′MN，顶点A′恰好落在边BC上（点A′和点B不重合）。

(1)设∠AMN=θ，x表示线段AM的长度，把x表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；

(2)求线段A′N长度的最小值．

正确答案

解：(1)MA′=MA=x，则MB=1-x，

在Rt△MBA′中，，

∴，

∵点M在线段AB上，点M和点B不重合，点A′和点B不重合，

∴45°＜θ＜90°．

(2)在△AMN中，∠ANM=120°-θ，，

∴，

令

，

∵45°＜θ＜90°，

∴60°＜2θ-30°＜150°，

当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值，

∴θ=60°时，A′N有最小值。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且(b-c)cosA=acosC．

（1）确定角A的大小；

（2）若△ABC的边a=，求△ABC面积的最大值．

正确答案

（本小题（12分），每问6分）

（1）由(b-c)cosA=acosC可得，bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理可知：sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB所以cosA=，所以A=．

（2）由a=，A=，以及余弦定理可得：2-=b2+c2-2bccos，

所以b2+c2=bc+2-≥2bc，⇒bc≤1，

所以三角形的面积S=bcsinA=bc，

∴S≤，当且仅当b=c=1时取等号．

故△ABC面积的最大值为．

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