- 正弦定理和余弦定理
- 共5329题
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=2，
（Ⅰ）若△ABC的面积等于
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积。
正确答案
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，
又因为△ABC的面积等于
所以
联立方程组
（Ⅱ）由题意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0时，
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
联立方程组
所以△ABC的面积
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，且
正确答案
由已知条件利用正弦定理可得 b2+c2=a2+bc，∴bc=b2+c2-a2=2bc•cosA，
∴cosA=
∴S=
已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．
（1）求A的大小；
（2）若a=2
正确答案
（1）∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①
三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②
联立①②可化简得：2cosAsinC+sinC=0，
在三角形中sinC≠0，得cosA=-
又0＜A＜π，
∴A=
（2）由余弦定理a2=b2+c2-2bc•cosA，得（2
解得：bc=4，
则S△ABC=
甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船最慢应以什么速度、向何方向航行？
正确答案
解：如图，设乙船速度为ν海里/小时，在C处追上甲船，
∠BAC=45°+180°-105°=120°，
在△ABC中，由余弦定理得，
又由正弦定理可知
∴sinB=
∴B≈21°47′，
即乙船应按东偏北45°+21°47′=66°47′的角度、
以21海里/小时的速度航行。
在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．
正确答案
解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得cos∠ADC=
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°
在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得
∴AB=
某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离。
正确答案
解：（1）在△ABD中，
由已知得∠ADB=60°，B=45°，
由正弦定理得
（2）在△ADC中，
由余弦定理得
CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°，
∴CD=8
所以A处与D处之间的距离为24nmile，
灯塔C与D处之间的距离为8
设三角形△ABC的内角A、B、C所对的边长为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4。
（1）求边长a；
（2）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l的值。
正确答案
解：（1）依题设得
由正弦定理得：
依题设知a2cos2B=9，所以a2=25，得a=5。
（2）因为
所以由S=10，得c=5，应用余弦定理得
故三角形ABC的周长L=a+b+c=2(5+
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC。
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）设f(B)=sin2B+sin2C，求f(B)的最大值。
正确答案
解：（Ⅰ）由1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinB·sinC，得
由正弦定理，得
由余弦定理，得
∵0＜A＜π，
∴
（Ⅱ）
由（Ⅰ）得，
∴
∴
∵0＜B＜
∴
令
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3+
正确答案
解：由题意知AB=5(3+
∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=45°，
∴∠ADB=105°，
在△DAB中，由正弦定理，得
∴
又∠DBC=∠DBA+∠ABC-30°+(90°-60°)=60°，BC=20
在△DBC中，由余弦定理，得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
∴CD=30海里，
则需要的时间
即救援船到达点D需要1小时．
在△ABC，角A，B，C所对应的边为a，b，c．
（1）若sin(A+
（2）若cosA=
正确答案
（1）∵sin（A+
∴sinA=
∴A=
（2）∵cosA=
∴a2=b2+c2-2bccosA=8c2，
∴a=2
由正弦定理：
而sinA=
∴sinC=
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