- 正弦定理和余弦定理
- 共5329题
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）
正确答案
解：设C船运动到B处的距离为t海里，
则
∴
又设∠ACB=θ，
则
则
∴θ=41°，
∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援。
是否存在以三个连续奇数为边长的钝角三角形。
（1）若存在，求出三边的长；
（2）求此三角形外接圆的面积。
正确答案
解：（1）假设存在这样的三角形
三边长分别为a=2n-1，b=2n+1，c=2n+3（n∈N*）
由题意a2+b2-c2＜0，即（2n-1）2+（2n+1）2-（2n+3）2＜0
解得
∴n=1或2或3
当n=1时，a=1，b=3，c=5，不能构成三角形；
当n=2时，a=3，b=5，c=7
当n=3时，a=5，b=7，c=9
存在这样的三角形，三边长分别为3，5，7或5，7，9;
（2）当a=3，b=5，c=7时，
∴
由正弦定理
故外接圆面积
当a=5，6=7，c=9时，
∴
由正弦定理
∴外接圆面积
在△ABC中，a，b，c分别为内角∠A、∠B、∠C的对边，且2asinA=（2a+c）sinB+（2c+b）sinC。
（1）求∠A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值。
正确答案
解：（1）由已知，根据正弦定理，得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c， 即a2=b2+c2+bc
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，故
A=120°；
（2）由（1）得sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinB=4cosAsinC，求b．
正确答案
解：由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA，
又a2-c2=2b，b≠0，
所以b=2ccosA+2，①
由正弦定理得
又由已知得
所以b=4ccosA，②
故由①、②解得b=4。
如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进
正确答案
解：由题意得，
在△BDC中，由正弦定理，可得
在△ADC中，由正弦定理，可得
在△ABC中，由余弦定理，可得
所以，AB=5（km），
所以，这两座建筑物之间的距离为5km。
在△ABC中，BC=
(1)求AB的值；
(2)求sin
正确答案
解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，
于是AB=sinC
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=
于是sinA=
从而sin2A=2sinAcosA=
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。己知asinA+csinC-
（1）求B；
（2）若A=75°，b=2，求a，c。
正确答案
解：（1）由正弦定理得
由余弦定理得
故
因此
（2）
故
a，b，c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=
（1）求角A的正弦值；
（2）求边a，b，c；
（3）判断△ABC的形状。
正确答案
解：（1）∵
由正弦定理得
整理得
由余弦定理得
∴
（2）由（1）知方程x2-9x+25cosA=0可化为x2-9x+20=0
解之得x=5或x=4，
∵b>c，
∴b=5，c=4
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，
∴a=3；
（3）∵a2+c2=b2，
∴△ABC为直角三角形。
在△ABC中，已知B=45°，D是边BC上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长。
正确答案
解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理，得
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°
在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理，得
∴
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC。
（1）求∠A的大小；
（2）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状。
正确答案
解：（1）由已知，根据正弦定理，得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c
即a2=b2+c2+bc
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA
故cosA=-
（2）由（1）得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC
又sinB+sinC=1
得sinB=sinC=
因为0°<∠B<90°，0°<∠C<90°
所以∠B=∠C
所以△ABC是等腰的钝角三角形。
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