- 正弦定理和余弦定理
- 共5329题
在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
（1）求sinB的值；
（2）若
正确答案
解：（1）
有
即
所以
所以
（2）
又
在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（I）求角C的值；
（II）若a2+b2=6（a+b）-18，求△ABC的面积．
正确答案
（I）由题得a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
由正弦定理得a（a-b）+b2=c2，即a2+b2-c2=ab．
∴余弦定理得cosC=
∵C∈（0，π），
∴C=
（II）∵a2+b2=6（a+b）-18，∴（a-3）2+（b-3）2=0，从而a=b=3．
∵C=
∴△ABC是边长为3的等边三角形，可得△ABC的面积S=
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b-
（1）求角A的大小；
（2）若角B=
正确答案
（1）因为(2b-
所以(2sinB-
则2sinBcosA=
所以cosA=
（2）由（1）知A=B=
所以AC=BC，C=
设AC=x，则MC=
又AM=
在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC•MCcosC=AM2，
即x2+(
解得x=2，
故S△ABC=
已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB，
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）设函数
正确答案
解：（Ⅰ）因为
由余弦定理知
所以
又因为
则由正弦定理得：
所以
所以
（Ⅱ）
由已知
则
因为
由于
所以
所以
根据正弦函数图象，
所以
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，已知=2，c=3，
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求sinC的值。
正确答案
解：（Ⅰ）由余弦定理，
∴
∴
（Ⅱ）方法1：由余弦定理，得
∵C是△ABC的内角，
∴
方法2：∵
∴
根据正弦定理
得
在城A的西南方向上有一个观测站B，在城A的南偏东15°的方向上有一条笔直的公路，一辆汽车正沿着该公路上向城A驶来．某一刻，在观测站B处观测到汽车与B处相距31km，在10分钟后观测到汽车与B处相距21km．若汽车速度为120km/h，求该汽车还需多长时间才能到达城A？
正确答案
解：如图，由题意知A=60°，CD=120×10÷60=20（km）．
则
从而
故
在△ABC中，由正弦定理可得
代入已知数据可求得AC=35，
故AD=15．
所以，汽车要到达城A还需要的时间为15?120×60=7.5小时．
在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a-c）cosB=bcosC，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）设
正确答案
解：（Ⅰ）由正弦定理得：
在
∴sinA≠0，
∴
又0＜B＜π，
∴
（Ⅱ）由余弦定理得：
则
∴
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b。
正确答案
解：由余弦定理得
又
所以b=2ccosA+2，①
又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC，
sin(A+C)=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC，
由正弦定理得sinB=
故b=4ccosA，②
由①，②解得b=4。
在△ABC中，已知b=
正确答案
解：由余弦定理
∴
∴
当
当
所以A=90°，C=60°。
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=
（Ⅰ）若△ABC的面积等于
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积。
正确答案
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，
又因为△ABC的面积等于
联立方程组
（Ⅱ）由题意得
即
当cosA=0时，
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
联立方程组
所以△ABC的面积
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