正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C，对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=，

（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；

（Ⅱ）若sinB=2sinA，求△ABC的面积。

正确答案

解：（Ⅰ）由余弦定理得，，

又因为△ABC的面积等于，

所以，得ab=4，

联立方程组，解得a=2，b=2。

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为b=2a，

联立方程组，解得，

所以△ABC的面积。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)如果a+b=6，，求c的值。

正确答案

解：(Ⅰ)因为，

所以，，

因为，，

所以，。

(Ⅱ)因为，，

又因为，，

所以，ab=8，

因为a+b=6，

根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12，

所以c的值为2。

题型：简答题

简答题

△ABC中，。

（1）求角B；

（2）若b=2，S=，求a，c。

正确答案

解：（1）B=；

（2）a=c=2。

题型：填空题

填空题

在△ABC中，若AB=，AC=5，且cosC=，则BC=______．

正确答案

由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

a=BC，b=AC，c=AB

cosC=，

∴=，

∴10a2+200-90a=0，

即：a2-9a+20=0，

（a-4）（a-5）=0，

解得：a=4，a=5，

BC=4或5．

故答案为：4或5．

题型：简答题

简答题

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC．

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC的面积为为，且b=，求a+c的值．

正确答案

（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，

∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，

将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，

在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，

∴cosB=，又0＜B＜π，

则B=；

（2）∵△ABC的面积为，sinB=sin=，

∴S=acsinB=ac=，

∴ac=6，又b=，cosB=cos=，

∴利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18=3，

∴（a+c）2=21，

则a+c=．

题型：简答题

简答题

某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

（1）A处与D处之间的距离；

（2）灯塔C与D处之间的距离。

正确答案

解：（1）如图，在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°，由正弦定理得

（nmile）。

（2）在△ADC中，AC=8 ，AD=24，∠CAD=30°，由余弦定理得

CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+（8）2-2×24×8cos30°=3×64

∴CD=8 （nmile）

所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8nmile。

题型：简答题

简答题

已知△ABC的周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA，

（1）求边长a的值；　　

（2）若S△ABC=3sinA，求cosA的值。

正确答案

解：（1）根据正弦定理，，

联立方程组，解得。

（2），

∴，

∴bc=6，　

又由（1）可知，，　

由余弦定理得，

∴。

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量=（1，sin(B-A)），平面向量=（sinC-sin2A，1），

（Ⅰ）如果c=2，C=，且△ABC的面积S=，求a的值；

（Ⅱ）若⊥，判断△ABC的形状。

正确答案

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，

∵△ABC的面积等于，

∴，∴ab=4，

联立方程组得，解得a=2，b=2，

∴a=2。

（Ⅱ），

∴，

化简得，∴cosA=0或sinB-sinA=0，

当cosA=0时，，此时△ABC是直角三角形；

当sinB-sinA=0时，sinB=sinA，

由正弦定理得b=a，此时△ABC为等腰三角形；

∴△ABC是直角三角形或等腰三角形。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA。

（1）求AB的值；

（2）求sin2A。

正确答案

解：（1）由正弦定理可得AB=2BC=；

（2）由余弦定理可得，，，

∴。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，已知AB=10，A=45°，在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应角C．

正确答案

∵c=10，A=45°，

∴当a=20时，由正弦定理=得：=，

∴sinC=，又a＞c，

∴A＞C，

∴C=30°；

当a=＜10=c，同理可得：sinC=，

∴C=60°或C=120°；

当a=5＜10=c时，同理可得sinC=2＞1，这是不可能的．

综上所述，当a=20时，C=30°；当a=时，C=60°或C=120°；当a=5时，C不存在．

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