正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：填空题

填空题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a-b=bc，sinC=2sinB，则A=（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为______．

正确答案

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，

可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k2-12k2cosC，

解方程可得cosC=-，

故答案为：-．

题型：简答题

简答题

点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．

（1）求的大小；

（2）求二面角的正切值．

正确答案

解：（1）如图，过点E作EGAC，垂足为G，

过点F作FHAC，垂足为H，

则，．

因为二面角D－AC－B为直二面角，

又在中，，

．

（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

二面角D－AC－B为直二面角，

平面DAC平面BAC，交线为AC，

又EGAC，

EG平面BAC．

GMOF，

由三垂线定理，得EMOF．

就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

．

所以，二面角的大小为．

题型：简答题

简答题

如图所示，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点为O，甲、乙分别在Ox、Oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km的速度，甲眼xx′的方向、乙沿y′y的方向步行。求：

（Ⅰ）起初，两人的距离是多少？

（Ⅱ）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；

（Ⅲ）什么时候两人的距离最短？

正确答案

解：（Ⅰ）设甲、乙两人最初的位置是A、B，则

，

∴（km）。

（Ⅱ）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则=4t，=4t，

当时，，

注意到，上面两式实际上是统一的，所以，

即。

（Ⅲ）∵，

∴当时，即在第15分钟末，PQ最短，最短距离是2km。

题型：填空题

填空题

在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且BC边上的高为，则的最大值为（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

在中，如果，那么cosC等于（）

正确答案

题型：填空题

填空题

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A的大小为（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若●=●=1．

（Ⅰ）求证：A=B；

（Ⅱ）求边长c的值；

（Ⅲ）若|+|=，求△ABC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵●=●．

∴bccosA=accosA，即bcosA=acosB

由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB

∴sin（A﹣B）=0

∵﹣π＜A﹣B＜π

∴A﹣B=0，

∴A=B

（Ⅱ）∵●=1，

∴bccosA=1

由余弦定理得bc·=1，即b2+c2﹣a2=2

∵由（Ⅰ）得a=b，

∴c2=2，

∴c=

（Ⅲ）∵|+|=，

∴||2+||2+2|●|=6

即c2+b2+2=6

∴c2+b2=4

∵c2=2

∴b2=2，b=

∴△ABC为正三角形

∴ =×（）2 =

题型：简答题

简答题

已知=(，sinx+cosx)，=(1，y)，且∥．设函数y=f（x）．

（1）求函数y=f（x）的解析式．

（2）若在锐角△ABC中，f(A-)=，边BC=，求△ABC周长的最大值．

正确答案

（1）因为∥，所以y=sinx+cosx，

所以f(x)=2sin(x+)

（2）∵f(A-)=2sin(A-+)=2sinA=，

∴sinA=．∵A∈(0，)，∴A=．

又BC=，

由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA，3=（b+c）2-3bc

，（b+c）2≤12，

∴b+c≤2，a+b+c≤a+2，

∴△ABC周长的最大值为3．

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