正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA，sinA），向量=（-sinA，cosA），若|+|=2。

（1）求角A的大小；

（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积。

正确答案

解：（1）

=4，

∴，

，

∴。

（2）由余弦定理，知，

即，

解得：，∴c=8，

∴。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，在△ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，求的值。

正确答案

解：∵，

∴c=4，

又，

∴，

∴。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．

（1）若边BC上的中线AD记为ma，试用余弦定理证明：ma=．

（2）若三角形的面积S=(a2+b2-c2)，求∠C的度数．

正确答案

（1）在△ABD中，cosB=；…2分

在△ABC中，cosB=，…4分

∴=，…5分

化简为：ma2=c2+-=，

∴ma=；…7分

（2）由S=（a2+b2-c2），得absinC=•2abcosC，…10分

∴tanC=1，得C=45°…13分

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足．

（1）求角C的大小；

（2）求sinA+sinB的最大值．

正确答案

（1）解：由题意可知absinC=*2abcosC．

所以tanC=．

因为0＜C＜π，

所以C=；

（2）解：由已知sinA+sinB=sinA+sin（π﹣C﹣A）

=sinA+sin（﹣A）

=sinA+cosA+sinA

=sinA+cosA

=sin（A+）≤．

当△ABC为正三角形时取等号，

所以sinA+sinB的最大值是．

题型：简答题

简答题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac，且，求B和C．

正确答案

解：因为a2+c2=b2+ac得 b2=a2+c2﹣ac，

又因为b2=a2+c2﹣2accosB，

所以，

所以B=60°

因为由可得，

所以

∴，得sinC=cosC，

所以C=45°

题型：简答题

简答题

如图，已知∠A=60°，P、Q分别是∠A两边上的动点。

（1）当AP=1，AQ=3时，求PQ的长；

（2）AP、AQ长度之和为定值4，求线段PQ的最小值。

正确答案

解：（1）由余弦定理，得，

∴。

（2）设AP=x，AQ=y，则

，

∴，

当且仅当x=y时，即AP=AQ=2时，PQ取到最小值，最小值是2。

题型：简答题

简答题

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）

正确答案

解：连结BC，由余弦定理，

得BC2=202+102-2×20×10×cos120°=700，

∴BC=10，

∵，

∴，

∵∠ACB＜90°，

∴∠ACB≈41°，

所以，乙船应朝北偏东71度的方向沿直线前往B处救援。

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．

正确答案

（I）因为 f（x）=sinxcosx-cos2x+

=sin2x-cos2x

=sin（2x-） …（6分）

又f（A）=sin（2A-）=1，A∈（0，π），…（7分）

所以2A-∈(-，)，2A-=π

∴A=π …（9分）

（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA

得到49=25+c2-2×5cosπ，所以c2-5c-24=0 …（11分）

解得c=-3（舍）或 c=8 …（13分）

所以c=8

题型：简答题

简答题

已知向量=(2cos2x，)，=(1，sin2x)，函数f(x)=•．

（1）求函数f（x）的对称中心；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=3，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．

正确答案

（1）f(x)=•=(2cos2x，)•(1，sin2x)=2cos2x+sin2x，

=cos2x+1+sin2x=2sin(2x+)+1．…（4分）

令2x+=kπ得，x=-(k∈Z)，

∴函数f（x）的对称中心为(-，1)．…（6分）

（2）f(C)=2sin(2C+)+1=3 ∴sin(2C+)=1，

∵C是三角形内角，∴2C+=即：C=…（8分）

∴cosC==即：a2+b2=7．

将ab=2代入可得：a2+=7，解之得：a2=3或4，…（10分）

∵a＞b，∴a=2，b=．…（12分）

∴a=或2，∴b=2或．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．

（1）若b=3，求sinA的值；

（2）若△ABC的面积S△ABC=3，求b，c的值．

正确答案

解：（1）因为，所以

由正弦定理，得

（2）因为，所以所以

由余弦定理，得

所以

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