正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，．

（I）若b=4，求sinA的值；

（II）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．

正确答案

解：（I）∵

由正弦定理得．

∴ ．

（II）∵ ，

∴ ．

∴c=5

由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，

∴

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．

（1）求cos C的值；

（2）若△ABC的面积为，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b及c的值．

正确答案

解：（1）因为sin=，

所以cosC=1﹣2sin2=1﹣2=﹣；

（2）因为sin2A+sin2B=sin2C，

由正弦定理得：a2+b2=c2．①

由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC，

将cosC=﹣代入，得：ab=c2．②

由S△ABC=absinC=及sinC==，

得：ab=6．③

联立①②③，解得或，

经检验，满足题意．

所以或．

题型：简答题

简答题

已知

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间．

（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．

正确答案

（Ⅰ）因为

所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）

（Ⅱ）因为f（x）=，

所以

又0＜A＜π

所以

从而

故A=在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=

∴1=b2+c2-2bccosA，

即1=4﹣3bc．故bc=1

从而S△ABC=

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．

（1）求的值；

（2）若，求bc的最大值．

正确答案

解：（1）=

==；

（2）根据余弦定理可知：

∴，

又∵，即bc≥2bc﹣3，

∴

当且仅当b=c=时，bc=，

故bc的最大值是．

题型：简答题

简答题

如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．

（1）若AD=2，S△DAC=2，求DC的长；

（2）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．

正确答案

解：（1），AC=4，AD=2，

，

B=，

，

在△ADC中，由余弦定理得：，

，

；

（2）AB=AD，，

△ABD为正三角形，

∠DAC=﹣C，∠ADC=，

在△ADC中，根据正弦定理，可得：，

AD=8sinC，，

△ADC的周长为

=8（sinC+cosC﹣sinC）+4

=8（sinC+cosC）+4

=8sin（C+）+4，

∠ADC=，

0＜C＜，

＜C+＜，

，sin（C+）的最大值为1，则△ADC的周长最大值为

题型：简答题

简答题

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处。小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为120°．已知某人从点C沿CD走到点D用了10分钟，从点D沿DA走到点A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长．（精确到1米）

正确答案

解：设该扇形的半径为r米，

由题意，得CD=500米，DA=300米，∠CDO=60°，

在△CDO中，，

即，

解得，

所以该扇形的半径OA的长约为445米。

题型：简答题

简答题

已知其中，

若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π。

（1）求ω的取值范围；

（2）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，。当ω取最大值时，f（A）=1，求b，c的值。

正确答案

解：（1）

。

（2）当时，，

由……………①

又……………②

由①②，得b=1，c=2或b=2，c=1。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcosA=ccosA+acosC．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）根据正弦定理

∵2bcosA=ccosA+acosC．

∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，

∵sinB≠0

∵cosA=

又∵0°＜A＜180°，

∴A=60°．

（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos60°=7，

代入b+c=4得bc=3，

故△ABC面积为S=bcsinA=

题型：简答题

简答题

已知且满足．

（1）求函数y=f（x）的解析式及最小正周期；

（2）在锐角三角形ABC中，若，且AB=2，AC=3，求BC的长．

正确答案

解：（1）∵=（m，1），=（sinx，cosx）且f（x）=，

∴f（x）=msinx+cosx，又f（）=1，

∴msin+cos=1，

∴m=1，

∴f（x）=sinx+cosx=sin（x+），

∴函数f（x）的最小正周期T=2π；

（2）∵f（）=sinA，

∴f（）=sin=sinA，

∴sinA=，

∵A是锐角三角形ABC的内角，

∴A=，又AB=2，AC=3，

∴由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2ABACcosA=32+22﹣2×2×3×=7，

∴BC=．

题型：简答题

简答题

已知△中，在边上，且o，o．

（1）求的长；

（2）求△的面积．

正确答案

解：（1）在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，

AD＝2sin60o＝。

在△ACD中，AD2＝()2＋12－21cos150o＝7，

AC＝

（2）AB＝2cos60o＝1

S△ABC＝13sin60o＝。

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