- 正弦定理和余弦定理
- 共5329题
叙述并证明余弦定理。
正确答案
解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。
或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
证明：如下图，
即
同理可证
已知△ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a2-（b-c）2，求tanA的值。
正确答案
解：S=a2-（b-c）2=
即a2-b2-c2+2bc=
由余弦定理，得b2+c2-a2=2bccosA②
由①②，得sinA+4cosA=4 ③
将③两边平方，得sin2A+16cos2A+8sinAcosA=16
即
解得
已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若
（1）求角A的大小；
（2）若a=2
正确答案
解：（1）∵
∴-cos2
又A∈(0，π)，
∴A=
（2） S△ABC=
∴bc=4，
又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc·cos120°=b2+c2+bc ，
∴16=(b+c)2，故b+c=4。
如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2=
正确答案
设双曲线方程为：
F1（-c，0），F2（c，0），P（x0，y0）．
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos
=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|．
即4c2=4a2+|PF1|•|PF2|．
又∵S△PF1F2=2
∴
∴|PF1|•|PF2|=8．∴4c2=4a2+8，即b2=2．
又∵e=
∴双曲线的方程为：
△中，角、、对边分别是、、，满足
（1）求角的大小；
（2）求
正确答案
解：（1）由已知
由余弦定理
得4bccosA=-2bc，
∴
∵
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∴当
已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A不是最大角，a=2
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若S△ABC=
正确答案
解：（Ⅰ）由正弦定理，得
∴A=60°或120°，
又A不是最大角，
∴0°＜A＜90°，
∴A=60°，
∴∠BOC=2A=120°，
∴
（Ⅱ）
由余弦定理，得
∴△ABC周长为
在△ABC中，A=60°，S△ABC=
正确答案
解：∵
∴
∵
∴
∴
∴b=1或4。
在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），试判断△ABC的形状。
正确答案
解：a2sin（A-B）+b2sin（A-B）=a2sin（A+B）-b2sin（A+B）
a2 [sin（A+B）-sin（A-B）]=b2[sin（A-B）+sin（A+B） ]
a2cosAsinB=b2sinAcosB
由题意知 sinB≠0，sinA≠0
则
所以acosA=bcosB，由余弦定理，得
即（a2-b2） （a2+b2-c2）=0
所以a=b或a2+b2=c2故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，S=5
正确答案
解：（1）已知条件
得
整理，得
因为a＞0，所以
于是，
所以 B =120°。
（2）由（1）知
又a=4，
由余弦定理，得
所以，
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0，
（1）求角B的大小；
（2）若
正确答案
解：（1）由正弦定理
将上式代入已知
得
即
即
∵
∴
∴
∵B为三角形的内角，
∴
（2）将
∴
∴
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