正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

如图已知A，B，C是一条直路上的三点，AB=1km，BC=2km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东60°，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°，求塔M到直路ABC的最短距离。

正确答案

解：由条件可知，

又AB=1km，BC=2km，

所以△CMB和△AMB的面积比为2：1，

即，

所以MC=2MA；

在△ACM中，

由余弦定理，，

△ACM为直角三角形，

M到ABC的最短距离为。

题型：简答题

简答题

如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值。

正确答案

解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M，

∴，

，

在△DEF中，

由余弦定理，得

。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，求证：。

正确答案

证明：左边==右边。

题型：简答题

简答题

在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求BC的长。

正确答案

解：在△ABD中，，

∴BD2-10BD-96=0，

∴BD=-6（舍）或BD=16，

在△BCD中，，

∴。

题型：简答题

简答题

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=，

(1)求△ABC的周长；

(2)求cos(A-C)的值．

正确答案

解：(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=，

∴c=2，

∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．

(2)，

∴，

∵a＜c，

∴A＜C，故A为锐角，

∴，

∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC的形状。

正确答案

解：由题意得=

所以

即

故△ABC是直角三角形。

题型：简答题

简答题

如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式)

正确答案

解：如图：

连结，由已知，，

∴，又，

∴是等边三角形，

由已知，，，

在中，由余弦定理，

==200

∴，

因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）

答：乙船每小时航行30海里.

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且cosA=．

（1）求cos（B+C）+cos2A的值；

（2）若a=，求b•c的最大值．

正确答案

（1）∵cosA=，且A+B+C=π，

∴cos（B+C）+cos2A

=cos（π-A）+cos2A

=-cosA+2cos2A-1

=-+2×(

)2-1

=-；

（2）由根据余弦定理得：cosA=，又cosA=，

∴=，

∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，

又∵a=，∴bc≤，

当且仅当b=c=时，bc=，

则bc的最大值是．

题型：简答题

简答题

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120° 的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从点C沿CD走到点D用了10分钟，从点D沿DA走到点A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长．（精确到1米）

正确答案

解：设该扇形的半径为r米，连接CO，

由题意，得CD=500米，DA=300米，∠CDO=60°，

在△CDO中，，

即，

解得，

所以该扇形的半径OA的长约为445米。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量=（1，cos），=（2sin，1-cos2A），且∥，

（1）若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值；

（2）若a=，求△ABC面积的最大值。

正确答案

解：（Ⅰ）由∥得，所以，

又A为锐角，∴，

而可以变形为，

即，所以m=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又，

所以，即，

故，

当且仅当时，△ABC面积的最大值是。

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