· 正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理
共5329题

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正弦定理和余弦定理
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1

题型：简答题

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简答题

在△ABC中，cosB=，b=6．

（1）当a=5时，求角A；

（2）当△ABC的面积为27时，求a+c的值．

正确答案

解：（1）∵ ＞0，∴B为锐角，且，

由正弦定理得，可得

又∵a＜b，得角A＜B

∴A= （舍）

（2）∵△ABC的面积，，

∴ ，即ac=90．

由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB

可得，即a2+c2=180．

∴（a+c）2=a2+c2+2ac=180+180=360，

所以，．

1

题型：简答题

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简答题

如图平面四边形ABCD中，AB=AD=a，BC=CD=BD，设∠BAD=θ，

（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；

（Ⅱ）求四边形ABCD面积S的最大值及此时θ值。

正确答案

解：（Ⅰ）△ABD中，，

△BCD为正三角形，

，

四边形ABCD面积，0＜θ＜π。

（Ⅱ）当，时，

。

1

题型：简答题

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简答题

在△ABC中，若AB=3，BC=，AC=4，求AC边上的高。

正确答案

解：设AC边上的高为BD，

在△ABC中，cosA=，

∴A=60°，

在△ABD中，

BD=ABsinA=3×sin60°=。

1

题型：填空题

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填空题

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若，则的值是（）。

正确答案

4

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=．

（1）若·=，求a+c的值；

（2）求+的值．

正确答案

解：（1）由·= 可得 accosB=，

因为 cosB=，所以b2=ac=2．

由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，

得a2+c2=b2+2accosB=5，

则（a+c）2=a2+c2+2ac=9，

故a+c=3．

（2）由cosB=可得 sinB=．

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，

于是 +=

====．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值。

正确答案

解：（1）∵bsinA=acosB，由正弦定理可得，

即得，

。

（2）∵sinC=2sinA，由正弦定理得，

由余弦定理，，

解得，

。

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题型：简答题

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简答题

锐角三角形中，分别是角的对边，且

（1）求角的大小；

（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小.

正确答案

解：(1) 因为

所以=

又因为A

所以A=

(2)将的右边展开

并整理得：，

∵

，

当即时y有最大值是2。

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinCcosC-cos2C=，且c=3，

（1）求角C；

（2）若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值。

正确答案

解：（1），

∴，即，

，

∴，解得；

（2）共线，

∴sinB-2sinA=0，

由正弦定理，得b=2a，①

∵c=3，

由余弦定理，得，②

联立方程①②，得。

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题型：简答题

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简答题

如下图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值。

正确答案

解：如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M

在△DEF中，由余弦定理

。

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题型：简答题

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简答题

△ABC的面积是30，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=。

（1）求；

（2）若c-b=1，求a的值。

正确答案

解：，

∴，

又，

∴bc=156，

（1）；

（2）由题意，得，∴b=12，c=13，

在△ABC中，由余弦定理得：

=25，

∴a=5。

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