· 正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理
共5329题

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，已知a2+b2-ab=c2，则C的度数为 ______．

正确答案

由a2+b2-ab=c2，得到a2+b2-c2=ab，

根据余弦定理得：cosC===，

又C∈（0，π），所以C=．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图，有一块四边形BCED的绿化区域，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=，CE=DE=1．现准备经过DB上的一点P和EC上的一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分．设DP=x，EQ=y，

(1)求x，y的关系式；

(2)水管PQ至少辅设多长？

正确答案

解：(1)连结BE，延长BD、CE交于点A，

则，

，

∴，

∴，

即，

∴。

(2)

，

当且仅当，即时，

。

1

题型：简答题

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简答题

△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a，b，c，。

（1）求；

（2）若c-b=1，求a的值。

正确答案

解：由，得

又

∴bc=156

（1）；

（2）a2=b2+c2-2bccosA=（c-b）2+2bc（1-cosA）=1+

∴a=5。

1

题型：填空题

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填空题

在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=（）。

正确答案

1

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sinC=，则C=______°．

正确答案

因为在△ABC中，a2+b2＜c2，所以三角形是钝角三角形，C＞90°，

∵sinC=，∴C=120°．

故答案为：120°．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，已知2+b2-b=c2，则∠C的大小为（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．

（1）求cos C的值；

（2）若△ABC的面积为，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b及c的值．

正确答案

解：（1）因为sin=，

所以cosC=1﹣2sin2=1﹣2=﹣；

（2）因为sin2A+sin2B=sin2C，

由正弦定理得：a2+b2=c2．①

由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC，

将cosC=﹣代入，得：ab=c2．②

由S△ABC=absinC=及sinC==，得：ab=6．③

联立①②③，解得

或，

经检验，满足题意．

所以，或

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题型：简答题

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简答题

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。

正确答案

解：如图，连结BD，则有四边形ABCD的面积

，

∵A+C=180°，

∴sinA=sinC，

∴，

由余弦定理，在△ABD中，

BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA，

在△CDB中，

BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC，

∴20-16cosA=52-48cosC，

∵cosC=-cosA，

∴64cosA=-32，cosA=-，

∴A=120°，

∴S=16sin120°=。

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c ，且

（1）求角B的值；

（2）若，a+c=4，求△ABC 的面积.

正确答案

解：（1 ）由余弦定理得：a2+c2-b2=2accosB, a2+b2-c2=2abcosC

∴

∴由题设得：

∴2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC

∴2sinAcosB+sin(B+C)=0

∴cosB= B= π

(2) 由余弦定理得： b2= a2+c2-2accosB

∴b2=(a+c)2-2ac-2accos π= (a+c)2-ac

∴13=16-ac

∴ac=3

∴

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=4，b=，c=3。

（1）求角B的大小；

（2）求△ABC中AC边上的高h。

正确答案

解：（1）由余弦定理得

所以。

（2）因为

所以。

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