正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin(A-)=cosA．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．

正确答案

解法一：（Ⅰ）由已知有sinA•cos-cosA•sin=cosA，…（2分）

故sinA=cosA，tanA=．…（4分）

又0＜A＜π，

所以A=．…（5分）

（Ⅱ）由正弦定理得b==sinB，c==sinC，…（7分）

故b+c=(sinB+sinC)．…（8分）sinB+sinC=sinB+sin(-B)=sinB+sin•cosB-cos•sinB=sinB+cosB

=sin(B+)．…（10分）

所以b+c=4sin(B+)．

因为0＜B＜，所以＜B+＜．

∴当B+=即B=时，sin(B+)取得最大值1，

b+c取得最大值4．…（12分）

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得，4=b2+c2-bc，…（8分）

所以4=（b+c）2-3bc，即(b+c)2-3()2≤4，…（10分）

∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．

所以，当且仅当b=c，即△ABC为正三角形时，b+c取得最大值4．…（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，6，c，且+cos2C=1， a=1，b=2．

(Ⅰ)求C和c；

(Ⅱ)P为△ABC内任一点（含边界），点P到三边距离之和为d，设P到AB，BC距离分别为x，y，用x，y表示d并求d的取值范围。

正确答案

解：(Ⅰ) ∵，

∴，

∴，∴或-1，

∵，

∴，

由余弦定理。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABC是直角三角形，如图建立直角坐标系，

直线AC的方程为，

设P（x，y），

则，

又x，y满足

或者用面积公式，

，

又x，y满足。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。

（I）求的值；

（II）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长，并求cos（2A+）的值。

正确答案

解：（I）=2；

（II）b=2；。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=。

(1)求cosC的值；

(2)若△ABC的面积为，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b及c的值．

正确答案

解：（1）因为，

所以，cosC=1-2sin2=．

（2）因为sin2A+sin2B=sin2C，

由正弦定理，得a2+b2=c2，①

由余弦定理，得a2+b2=c2+2abcosC，

将cosC=代入，得ab=c2， ②

由S△ABC=及，得ab=6， ③

由①，②，③得或

经检验，满足题意，

所以，或。

题型：简答题

简答题

设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2-3a2=4bc，

(Ⅰ)求sinA的值；

(Ⅱ)求的值。

正确答案

解：(Ⅰ)由余弦定理，得，

又，

故。

(Ⅱ)原式

。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，且a2+c2-b2=ac。

（1）求sin2+cos2B的值；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。

正确答案

解：（1）∵，

∴，

∴

。

（2）由，得，

∵b=2，

∴，

故：ABC面积的最大值为。

题型：简答题

简答题

△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=，sin（B-A）=cosC．

（1）求A，C；

（2）若S△ABC=3+，求a，c．

正确答案

（1）因为tanC=

所以左边切化弦对角相乘得到

sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，

所以sin（C-A）=sin（B-C）．

所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立）

即2C=A+B，C=60°，

所以A+B=120°，

又因为sin（B-A）=cosC=，

所以B-A=30°或B-A=150°（舍），

所以A=45°，C=60°．

（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=

根据正弦定理可得=即：=∴a=c

S=acsinB=×c2×=3+

∴c2=12∴c=2

∴a=c=2

题型：简答题

简答题

在任何两边都不相等的锐角三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为、b、c且

（1）求角B的取值范围；

（2）求函数的值域；

（3）求证：

正确答案

解：（1）∵

∴

（2）∵

由（1）得

∴，

∴函数的值域为（）.

（3）∵

∴，

∵

∴

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a2=b2+c2+bc，

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试求内角B、C的大小。

正确答案

解：（Ⅰ），

由余弦定理得，

故。

（Ⅱ）∵，

∴，

又∵B为三角形内角，

故B=C=30°。

题型：简答题

简答题

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（-1，1），=（cosBcosC，sinBsinC-），且⊥，

(Ⅰ)求A的大小；

(Ⅱ)现在给出下列三个条件：①a=1；②2c-（+1）b=0；③B=45°，试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积。

正确答案

解：(Ⅰ)因为，所以，

即：，所以，

因为，所以，

所以。

(Ⅱ)方案一：选择①②，可确定△ABC，

因为，

由余弦定理，得：，

整理得：，

所以。

方案二：选择①③，可确定△ABC，

因为，

又，

由正弦定理，

所以。

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