正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f(x)=•．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆的半径，且f（C）=3，c=1，sinAsinB=，且a＞b，求a，b的值．

正确答案

（1）由题意可得f(x)=•=(2cos2x，)•(1，sin2x)

=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin(2x+)+1，

∴f（x）的最小正周期为π，由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），

解得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）

∴函数f（x）的单调增区间为（kπ-，kπ+）（k∈Z）

（2）由（1）知f(C)=2sin(2C+)+1=3∴sin(2C+)=1

∵C是三角形内角，∴2C+∈(，)，

∴2C+=，即：C=

由余弦定理可得：cosC==即：a2+b2-1=ab①

由正弦定理可得：sinAsinB=可得：ab=2 ②，联立①②得：a2+=7

解之得：a2=3或4，∴a=或2

所以当a=时，b=2；当a=2，b=，∵a＞b，∴a=2，b=

题型：简答题

简答题

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（-1，1），=（cosBcosC，sinBsinC-），且。

（1）求A的大小；

（2）现给出下列四个条件：①a=1；②b=2sinB；③2c-（+1）b=0；④B=45°。试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC的面积。

正确答案

解：（1）∵

∴

即

∵

∴

又

∴；

（2）选择①③可确定

由余弦定理得

整理得

∴。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1-sin，

（1）求sinC的值；

（2）若a2+b2=4（a+b）-8，求边c的值。

正确答案

解：（1）

（2）由得

即 ∴cosC=

∵a2+b2=4（a+b）-8

∴（a-2）2+（b-2）2=0

∴a=2，b=2

由余弦定理

题型：简答题

简答题

△ABC，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且4sin2-cos2A=。

（1）求∠A；

（2）若a=7，△ABC的面积为10，求b+c的值。

正确答案

解：（1）4sin2

由

2cos2A-2cosA+

∴（）2=0

∴

∴；

（2）在中，S△ABC=

∴

在△ABC中余弦定理得a2=

∴

∴。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

（1）求cosA的值；

（2）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

正确答案

（Ⅰ）由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

可得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+c)=-，

可得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-，

即cos(A-B+B)=-，

即cosA=-，

（Ⅱ）由正弦定理，=，所以sinB==，

由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，

由余弦定理可知(4)2=52+c2-2×5c×(-)．

解得c=1，c=-7（舍去）．

向量在方向上的投影：||cosB=ccosB=．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin22C+sin2C·sinC+cos2C=1，且a+b=5，c=，

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积。

正确答案

解：（Ⅰ）sin22C+sin2C·sinC+cos2C=1

4sin2C·cos2C+2sin2C·cosC+1-2sin2C=1

2sin2C（2cos2C+cosC-1）=0，

∴2sin2C（2cosC-1）（cosC+1）=0，

∵在△ABC中，sinC≠0，cosC＞-1，

∴，

∴；

（Ⅱ），

∴，∴ab=6，

∴。

题型：简答题

简答题

已知△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，

（Ⅰ）求BC边的长；

（Ⅱ）记AB的中点为D，求中线CD的长。

正确答案

解：（Ⅰ）由得，

，

由正弦定理知；

（Ⅱ），

，

由余弦定理知。

题型：简答题

简答题

设函数，x∈R。

（1）求f（x）的值域；

（2）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值。

正确答案

解：（1）

因此f（x）的值域为[0，2]；

（2）由f（B）=1得

即

又因0＜B＜π，故

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得a2-3a+2=0，解得a=1或2

故a的值为1或2。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且有bcosC=3acosB-ccosB。

（1）求cosB的值；

（2）若=2，b=2，求a和c的值。

正确答案

解：（1）由bcosC=3acosB-ccosB及正弦定理得：sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，

即：sinBcosC+ sinCcosB=3sinAcosB，

即：sin(B+C) =3sinAcosB，

又A+B+C=π，

∴sin(B+C)=sinA=3sinAcosB，

又0＜A＜π，

∴sinA≠0，

∴cosB=。

（2）=2=cacosB，

又cosB=，

∴ac=6……①

又由余弦定理及b=2，得，

∴，

∴a+c=2……②，

由①②，解得a=c=。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，

(Ⅰ)求△ABC的面积；

(Ⅱ)若c=1，求a的值．

正确答案

解：(Ⅰ)因为，

所以，

又由，得bccosA=3，所以bc=5，

因此。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，bc=5，又c=1，所以b=5，

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=20，

所以。

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