正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)若c=2且sinA=2sinB，求△ABC的面积．

正确答案

解：(Ⅰ)∵，

∴，

在△ABC中，，

∴。

(Ⅱ)∵，

∴a=2b，

∵，

∴，

∴b=2，∴a=4，

∴。

题型：简答题

简答题

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵，

∴

又∵0＜B+C＜π，

∴，

∵A+B+C=π，

∴．

（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得

即：，

∴bc=4，

∴．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知。

（1）求的值；

（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长。

正确答案

解：（1）由正弦定理得

所以

即

既有

即

所以=2。

（2）由（1）知=2

所以有，即c=2a

又因为△ABC的周长为5，

所以b=5-3a

由余弦定理得：

即

解得a=1，a=5（舍去）

所以b=2。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2+cos2B=1

（1）若b=，a=3，求c的值；

（2）设t=sinAsinC，当t取最大值时求A的值．

正确答案

（1）∵2sin2+cos2B=1，

∴2cos2B+cosB-1=0

∴cosB=（cosB=-1舍去），∴B=

由余弦定理，可得13=9+c2-2×3c×

∴c2-3c-4=0

∴c=1或c=4

c=1时，c＜a＜b，C＜A＜B=，与三角形内角和矛盾，舍去，∴c=4；

（2）t=sinAsinC=sinAsin（-A）=sinA（cosA+sinA）=sinA-cos2A+=sin(2A-)+，

∵A∈(0，)，∴2A-∈(-，)

∴sin(2A-)∈(-，1]

∴当2A-=，即A=时，tmax=．

题型：简答题

简答题

△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量=(2sinB，2-cos2B)，=(2sin2(+)，-1)，且⊥．

（1）求角B的大小；

（2）若a=，b=1，求c的值．

正确答案

（1）由于⊥，所以•=0，所以2sinB•2sin2(+)-2+cos2B=0，

即2sinB•[1-cos2(+)]-2+cos2B=0，

即2sinB+2sin2B-2+1-2sinB2=0，

解得sinB=．

由于0＜B＜π，所以B=或；（6分）

（2）由a＞b，得到A＞B，即B=，

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，

代入得：1=3+c2-2c(±)，

即c2±3c+2=0，

解得c=1或c=2．（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinAcosC+cosAsinC=，若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．

正确答案

在△ABC中，由条件sinAcosC+cosAsinC=可知，sin(A+C)=，

即sinB=，∵S△ABC=acsinB=，∴ac=3．

根据b=，若B为锐角，则cosB=，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=（a+c）2-2ac-2accosB，

于是，7=(a+c)2-2•3(1+)，∴a+c=4．

若B为钝角，则cosB=-，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=（a+c）2-2ac-2accosB，

于是，7=(a+c)2-2•3(1-)，解得a+c=．

综上可得，a+c=4或．

题型：简答题

简答题

如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为（，），记∠COA=α．

（1）求的值；

（2）求|BC|2的值．

正确答案

解：（1）∵A的坐标为（，），根据三角函数的定义可知，sinα=，cosα=，

∴==．

（2）∵△AOB为正三角形，

∴∠AOB=60°．

∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°﹣sinαsin60°=×﹣×=，

∴|BC|2 =|OC|2+|OB|2﹣2|OC||OB|cos∠COB=1+1﹣2×=．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a、b、c，且满足，b+c=6，，

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求的值。

正确答案

解：（Ⅰ）∵，

∴，

又∵，即bccosA=3，

∴bc=5，

又b+c=6，

∴或，

由余弦定理得，

∴。

（Ⅱ）

，

∵，

∴，

∴原式=。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c，

（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值；

（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值。

正确答案

解：（1），

∴，∴；

（2），

∴，

由正弦定理得：，

而，

∴。

题型：简答题

简答题

已知△ABC中角A，B，C所对边为a，b，c，且满足：2acosB=ccosB+bcosC，

(Ⅰ)求角B；

(Ⅱ)若b=5，S△ABC=2，求a+c的值。

正确答案

解：(Ⅰ)由已知，得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即：2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，

∴。

(Ⅱ)由，得，ac=4，

由余弦定理得25=a2+c2-ac，(a+c)2=25+12=37，

。

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