热门试卷

（Ⅰ）依题意，a=4，b=5，c=，

由余弦定理得cosC==-，

因为C为三角形的内角，即∠C∈（0，180°），

所以∠C=120°；（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinC=sin120°=，且b=5，a=4，

则三角形的面积S△ABC=b•a•sin120°=×5×4×=5．（12分）

（1）∵cos2C=，∴1-2sin2C=（1分），解得：sinC=（负值舍去）．（3分）

由正弦定理：=，即=（4分），可得AB=•×=2（6分）．

（2）∵AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB，（7分）  即10=4+BC2-4BCcos45°，解得BC=3． （10分）

由于 CD2=BD2+BC2-2BD•BCcosB=1+18-2×1×3×=13，（13分）

故CD=．（14分）

解：

，，

，，

∴，

由正弦定理，得，

∴

即，

，

，

∴，

所以，乙船的速度为海里/小时。

解：（Ⅰ）设，

则由，得，

∴，

在中，由正弦定理，得

，即，

同理，得，

，

∴，

∴，

，

∴，

即，

∴或，

当时，，

与的三边长是连续三个正整数矛盾，

∴，

∴，

∴△ABC是等腰三角形。

（Ⅱ）在直角三角形AMC中，设两直角边分别为n，n-1，斜边为n+1，

由，得n=4，

由余弦定理或二倍角公式，得或。

解：(Ⅰ)条件可化为，

根据正弦定理，有，

∴，即，

因为，

所以，，即。

 (Ⅱ)因为，

所以，，即，

根据余弦定理，，

可得，，

由基本不等式可知，

即，

故△ABC面积，

即当时，△ABC面积的最大值为。

（I）由题意知a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

不妨设a≤b≤c，

由余弦定理得 cosB==≥=，

根据B为三角形内角，可得0＜B≤，

则角B的范围为（0，]；

（II）∵bcosA+acosB=2ccosC，①

由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）

将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，

化简，得sin（A+B）=2sinCcosC．（5分）

又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，

∴sinC=2sinCcosC，

∵sinC≠0，

∴cosC=，

∴C=，

将②代入sinA=2sinB得：a=2b，

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，

把a=2b代入得：c2=4b2+b2-2b2=3b2，

∴c=b，即b=c，

∵a=2b，sinC=，

∴S△ABC=absinC=×2b2=c2，

又c∈（，4]，

∴c2∈（，16]，

∴＜c2≤，

则S△ABC的范围为（，]．

解：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d；

②第一步：计算AM，由正弦定理AM=；

第二步：计算AN，由正弦定理AN=；

第三步：计算MN，由余弦定理MN=。

（1）∵A+B+C=180°，

∴=90°-，

由4sin2-cos2C=得：4cos2-cos2C=，

∴4•-(2cos2C-1)=，

整理得：4cos2C-4cosC+1=0，

解得：cosC=，

∵0°＜C＜180°，

∴C=60°；

（2）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即7=a2+b2-ab，

∴7=（a+b）2-3ab=25-3ab⇔ab=6，

∴S△ABC=absinC=×6×=．