- 正弦定理和余弦定理
- 共5329题
在某海域，以点E为中心的7海里以内海域足危险区域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/时）；
（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）如图，
由余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosθ，
得
所以船的行驶速度为
（Ⅱ）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q，
在△ABC中，由余弦定理得，
从而
在△ABQ中，由正弦定理得，
所以AE=55＞40=AQ，且QE=AE-AQ=15，
过点E作EP⊥BC于点P，
在Rt△QPE中，
PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC
=QE·sin（45°-∠B）
所以船会进入危险水域。
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知c=2，
（1）若△ABC的面积等于
（2）若sinC+sin（B-A） =2sin2A，求△ABC的面积。
正确答案
解：（1）余弦定理即已知条件得，a2+b2-ab=4
又因为△ABC的面积等于
所以
联立方程，得
（2）由题意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a
联立方程，得
解得
所以△ABC的面积为
如下图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求BC的长。
正确答案
解：在△ABD中，由余弦定理有
设
则有
∴
∴
即BD=16
在△DBC中，
由正弦定理
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若
正确答案
解：（Ⅰ）在△ABC中，由
即
则
而
则sinC=2sinA，
即
（Ⅱ）由c=2a及
则a=1，c=2，
S
巡逻人员在海岸A处发现北偏东45°方向上距A处（
正确答案
解：北偏东60°方向。
在△ABC，中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若
正确答案
解：（1）由正弦定理得
又cosC=-cos（A+B）
（2）∵a+c=4
∴a2+c2+2ac=16
解得ac=3
在△ABC中，
（1）求角B；
（2）若sinA=
正确答案
解：（1）依题意得
sin2A-sin2B=sin（A+B）（
由正弦定理得：a2-b2=
∴a2+c2-b2=
由余弦定理知：cosB=
∴B=
（2）∵sinA=
∴
又B=
∴
∴cosA=
∴cosC=cos（
△ABC中，BC=
（1）求AB的值；
（2）求sin（2A-
正确答案
解：（1）在△ABC中，根据正弦定理
于是
（2）在△ABC中，根据余弦定理得
于是
由倍角公式
所以
某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，距C处31km的公路上的B处有一汽车正沿公路向A城开去，行驶了20km后到达D处，此时CD的距离为21km，问这辆汽车还需行驶多少千米才能到达A城？
正确答案
解：在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC=-
故sin∠BDC=
sin∠ADC=sin∠BDC=
由题意，得∠CAD=60°，
在△ACD中，由正弦定理，得AC=24
再由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos∠CAD，
解得AD=9或AD=15
经检验，AD=9不合题意，故AD=15
因此这辆汽车还需行驶15km才能到达A城。
在△ABC中，已知A>B>C，且A=2C，b=4，a+c=8，求a，c。
正确答案
解：由正弦定理及A=2C，得
∴
由a+c=8=2b及余弦定理，得
∴
整理，得（2a-3c）（a-c）=0
∵a≠c，
∴ 2a=3c
又a+c=8
∴
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