- 正弦定理和余弦定理
- 共5329题
设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA。
（1）求B的大小；
（2）若a=3
正确答案
解：（1）由
所以，
由△ABC为锐角的三角形得
（2）根据余弦定理，得
所以，
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是 a，b，c且a=2，cosB=
（1）b=3， 求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S△ABC=3，求b，c的值。
正确答案
解：（1）∵cosB=
∴sinB=
由正弦定理
得sinA=
（2）因为S△ABC=
所以
由余弦定理
所以b=
已知：在△ABC中，A=120°，a=7，b+c=8，
（1）求b，c的值；
（2）求sinB的值。
正确答案
解：（1）根据题意
解得：
（2）根据正弦定理
当
当
如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处。然后以同样的速度，沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛，
（Ⅰ）求A、C两岛之间的直线距离；
（Ⅱ）求∠BAC的正弦值。
正确答案
解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，
∠ABC=180-75+15=120°，
据余弦定理，得
所以AC=70，
故A、C两岛之间的直线距离是70海里；
（Ⅱ）在△ABC中，据正弦定理，得
所以
故∠BAC的正弦值是
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C=
(1)求sinC的值；
(2)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长。
正确答案
解：(1)因为cos2C=1-
所以sinC=
(2)当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理
由cos2C=
由余弦定理
得
解得b=
所以
在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角和sinC。
正确答案
解：∵a＞c＞b，
∴A为最大角，
由余弦定理推论得cosA=
又∵0°＜A＜180°，
∴A=120°，
∴sinA=sin120°=
由正弦定理
∴最大角A为120°，sinC=
港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A还有多远？
正确答案
解：在△BDC中，由余弦定理知，
∴
∴
在△ACD中，由正弦定理知
∴船距港口还有15海里。
在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处。
（1）求船的航行速度；
（2）求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离。
正确答案
解：（1）设船速为xkm/h，则
在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，
∴
同理，Rt△PCA中，
在△ACB中，∠CAB=15°+45°=60°
∴由余弦定理得，
∴
船的航行速度为
（2）由（1）知在△ACB中，由正弦定理
∴
作AD⊥BC于点D，
∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小
此时，
∴
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为
如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=
（1）求AB的值；
（2）求sin（2A+C）的值。
正确答案
解：（1）由余弦定理，
那么，
（2）由
由正弦定理，
所以
由倍角公式
且
故
如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救。信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值。
正确答案
解：如题中图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，
由余弦定理知，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800
由正弦定理得，
由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=
由θ=∠ACB+30°，
得cosθ=cos（∠ACB+30°）
=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=
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