正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

如图，△ABC中．角A、B、C所对边的长分别为a、b、c满足c=l，以AB为边向△ABC外作等边三角形△ABD．

(1)求∠ACB的大小；

(2)设∠ABC=．试求函数的最大值及取得最大值时的的值．

正确答案

（1）；（2）当时，取得最大值3.

试题分析：本题主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用、倍角公式、两角和与差的正弦公式、三角函数最值等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，利用余弦定理直接求，在三角形内解角C的大小；第二问，在三角形BCD中利用余弦定理先得到的表达式也就是，再在三角形ABC中利用正弦定理得到a的表达式，代入到中，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简，由题意，，求函数的最大值.

试题解析：⑴在中，

∴∠ 4分

⑵由正弦定理知 6分

∴

10分

由于，故仅当时，取得最大值3. 12分

题型：简答题

简答题

（本题满分12分）在中，且．

（1）判断的形状;

（2）若求的取值范围．

正确答案

（1）三角形为等腰三角形.（2）．

(1)由得，再根据正弦定理.

，所以或,然后再根据C的范围，及三角形内角和定理求出A，B，C的值.

(II)若则边上的中线长1．

从而得到关于C的函数关系式，转化为函数值域问题来解决.

（1）由可得，，

所以或,

因为若，则．

所以，由，相减得：

三角形为等腰三角形.

（2）若则边上的中线长1．

．

题型：简答题

简答题

在中，分别为内角的对边，且

（1）求的大小；

（2）若，试判断的形状.

正确答案

解：（1）由已知，根据正弦定理得

即

由余弦定理得

故

（2）由(1)得

又，得

因为，

故

所以是等腰钝角三角形.

略

题型：简答题

简答题

正确答案

略

题型：填空题

填空题

对于，有如下命题：①若；②；

③若。

其中正确命题的序号是__________________.

正确答案

略

题型：填空题

填空题

在△ABC中，A+C=2B，BC=5，且△ABC的面积为10，则AC=______．

正确答案

由△ABC中，A+C=2B，BC=5，可得 B=60°，又△ABC的面积为10=×5×AB sin60°，

∴AB=8，△ABC 中，由余弦定理可得 AC2=25+64-2×5×8cos60°=49，

则AC=7，

故答案为7．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，已知A=，b=1，S△ABC=，则a=______．

正确答案

由S△ABC=bc•sinA=×=，可得c=4．

再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=1+16-8×=13，∴a=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

在中，角所对的边分别为，且满足

（1）若，求的面积；

（2）求的取值范围．

正确答案

（1）；（2）取值范围是.

试题分析：（1）利用正弦定理将已知条件关系化为角间的关系、再利用余弦定理求解；（2）将化为一角一函数形式，由（1）得到的取值范围，利用三角函数性质求出的范围.

试题解析：(1)由正弦定理可得:

3分

由

6分

(2) 8分

取值范围是 12分

题型：填空题

填空题

已知△ABC的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC的周长等于______．

正确答案

由题意可得AB•BCsin∠ABC=，即 AB•BC•=，∴AB•BC=2．

再由余弦定理可得 3=AB2+BC2-2AB•BCcos=AB2+BC2-AB•BC=AB2+BC2-2，

∴AB2+BC2=5，∴（AB+BC）2=AB2+BC2+2AB•BC=5+4=9，∴AB+BC=3．

∴△ABC的周长等于 AB+BC+AC=3+，

故答案为：3+．

题型：填空题

填空题

设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4，∠C=45°，则R=______．

正确答案

因为在△ABC中AB=4，∠C=45°，

所以根据正弦定理可得：△ABC外接圆的直径2R==4，

所以R=2．

故答案为2．

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