- 函数的应用
- 共9606题
若方程|-x2+4x-3|=kx有三个实数解，求k的值．
正确答案
即为函数y=|-x2+4x-3|和y=kx的图象有三个交点．
在同一直角坐标系中，作出函数y=|-x2+4x-3|和y=kx的图象，
通过图象观察可得，当直线y=kx绕着原点旋转至与曲线
在1＜x＜3的图象相切时，有三个交点．
设切点为（m，n），则y=-x2+4x-3的导数为y′=-2x+4，
则有k=-2m+4，n=km，n=-m2+4m-3，
解得，m=
即有k=4-2
解析
即为函数y=|-x2+4x-3|和y=kx的图象有三个交点．
在同一直角坐标系中，作出函数y=|-x2+4x-3|和y=kx的图象，
通过图象观察可得，当直线y=kx绕着原点旋转至与曲线
在1＜x＜3的图象相切时，有三个交点．
设切点为（m，n），则y=-x2+4x-3的导数为y′=-2x+4，
则有k=-2m+4，n=km，n=-m2+4m-3，
解得，m=
即有k=4-2
消去未知数“y”，化
正确答案
解析
解：将y=k（x-
x2+4[k（x-
利用平方和公式化简，得
故答案为：
定义在（-1，1]的函数f（x）满足f（x）+1=
A[2，+∞）
B[0，
C（-
D[-
正确答案
解析
解：①当x∈[0，1]时，f（x）=-x，g（x）=f（x）+kx+k=-x+kx+k有一个零点，
则g（0）g（1）＜0，即k（2k-1）＜0，解得0＜k＜
若k=0，g（x）=-x，有一个零点0；
若k=
②x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=-x-1，
f（x）+1=
∴g（x）=-1-
g‘（x）=
当k=0时，g（x）单调增，g（0）=-2，此时无零点；
当k＞0时，g′（x）＞0恒成立，x∈（-1，0）时，
x→-1，g（x）→-∞，x→0，g（x）=k-2＞0，即k＞2，
∴此时g（x）在（-1，0 ）上必然有一个零点；
当k＜0时，令g′（x）=0，考虑到x∈（-1，0 ），此时没有零点；
综上，0＜k≤
故选：B．
若x0是方程
正确答案
解析
解：构造函数
∵f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0
∴函数
即x0属于区间（1，2）
故选B
已知函数f（x）=2ax2+2x-2-2a在[1，2]上有零点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：当a=0时，f（x）=2x-2，它的零点为x=1，满足条件．
当a≠0时，二次函数f（x）满足f（1）=0，满足条件．
综上可得，a为任意实数时，函数f（x）=2ax2+2x-2-2a在[1，2]上有零点，
故a的范围为R．
解析
解：当a=0时，f（x）=2x-2，它的零点为x=1，满足条件．
当a≠0时，二次函数f（x）满足f（1）=0，满足条件．
综上可得，a为任意实数时，函数f（x）=2ax2+2x-2-2a在[1，2]上有零点，
故a的范围为R．
实数m满足方程
正确答案
解析
解：方程
数形结合可知：0＜m＜1，∴2m＞1
∴m＜1＜2m，
故选 B
求实数m的范围，使关于x的方程x2+2（m-1）x+2m+6=0．
（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小．
（2）有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4．
（3）至少有一个正根．
正确答案
解：（1）由题意知，
4+4（m-1）+2m+6＜0，
解得，m＜-1；
（2）由题意得，
解得，-1.4＜m＜-
（3）由题意得，
△=[2（m-1）]2-4（2m+6）≥0，
解得，m≤-1或m≥5；
当m≤-1时，1-m≥2＞0，
方程一定有一正根；
当m≥5时，1-m≤-4，
又∵2m+6＞0，
∴方程x2+2（m-1）x+2m+6=0的两根都是负根；
综上所述，m≤-1．
解析
解：（1）由题意知，
4+4（m-1）+2m+6＜0，
解得，m＜-1；
（2）由题意得，
解得，-1.4＜m＜-
（3）由题意得，
△=[2（m-1）]2-4（2m+6）≥0，
解得，m≤-1或m≥5；
当m≤-1时，1-m≥2＞0，
方程一定有一正根；
当m≥5时，1-m≤-4，
又∵2m+6＞0，
∴方程x2+2（m-1）x+2m+6=0的两根都是负根；
综上所述，m≤-1．
已知函数
（1）求非零实数a的值；
（2）若函数
正确答案
解：（1）若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为
由于此时
故函数的值域
由题意，有
（2）由
得4x4-bx3+b2=0．
记h（x）=4x4-bx3+b2，
则h′（x）=16x3-3bx2，令h′（x）=0，
易知
∴
又
即4
故
解析
解：（1）若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为
由于此时
故函数的值域
由题意，有
（2）由
得4x4-bx3+b2=0．
记h（x）=4x4-bx3+b2，
则h′（x）=16x3-3bx2，令h′（x）=0，
易知
∴
又
即4
故
已知方程x2+ax+1=0，x2+2x-a=0，x2+2ax+2=0，若三个方程至少有一方程有实根，求a的取值范围．
正确答案
解：由题意，假设方程x2+ax+1=0，x2+2x-a=0，x2+2ax+2=0，都没有实根；
则
解得，
则方程x2+ax+1=0，x2+2x-a=0，x2+2ax+2=0，若三个方程至少有一方程有实根时，
a的取值范围为a
解析
解：由题意，假设方程x2+ax+1=0，x2+2x-a=0，x2+2ax+2=0，都没有实根；
则
解得，
则方程x2+ax+1=0，x2+2x-a=0，x2+2ax+2=0，若三个方程至少有一方程有实根时，
a的取值范围为a
已知二次函数f（x）=x2+x，函数F（x）=f（-x）+f（x）-2x．
（1）求函数F（x）的零点；
（2）设F（x）的两个零点为α、β，且α＜β，集合C={x|α≤x≤β}，若方程f（ax）-ax+1=5（a＞1）在集合C上有解，求实数a的取值范围；
（3）记函数f（x）在C上的值域为A，若函数g（x）=x2-tx+
正确答案
解：（1）F（x）=f（-x）+f（x）-2x
=2x2-2x=2x（x-1）；
故函数F（x）的零点为0，1；
（2）由（1）得，α=0，β=1；
C=[0，1]；
方程f（ax）-ax+1=5可化为
（ax）2+ax-ax+1-5=0，
即（ax）2+（1-a）ax-5=0；
令t=ax，
则方程f（ax）-ax+1=5（a＞1）在集合C上有解可化为
t2+（1-a）t-5=0在[1，a]上有解；
结合y=t2+（1-a）t-5的图象可得，
只需使a2+（1-a）a-5≥0，
即a≥5；
（3）由题意，A=[0，2]；
g（x）=x2-tx+
则
故t≥2或t≤0，
①若t≤0；
g（x）=x2-tx+
故
解得，t≤-2；
②若t≥2；
则g（x）=x2-tx+
故1-2t+
解得，t≥4；
故t≤-2或t≥4．
解析
解：（1）F（x）=f（-x）+f（x）-2x
=2x2-2x=2x（x-1）；
故函数F（x）的零点为0，1；
（2）由（1）得，α=0，β=1；
C=[0，1]；
方程f（ax）-ax+1=5可化为
（ax）2+ax-ax+1-5=0，
即（ax）2+（1-a）ax-5=0；
令t=ax，
则方程f（ax）-ax+1=5（a＞1）在集合C上有解可化为
t2+（1-a）t-5=0在[1，a]上有解；
结合y=t2+（1-a）t-5的图象可得，
只需使a2+（1-a）a-5≥0，
即a≥5；
（3）由题意，A=[0，2]；
g（x）=x2-tx+
则
故t≥2或t≤0，
①若t≤0；
g（x）=x2-tx+
故
解得，t≤-2；
②若t≥2；
则g（x）=x2-tx+
故1-2t+
解得，t≥4；
故t≤-2或t≥4．
设函数f（x）=（x-2008）（x-2009）+
正确答案
解析
解：函数f（x）=（x-2008）（x-2009）+
而函数f（x）=（x-2008）（x-2009）的两个零点分别为2008和2009，故由图象可得f（x）存在两个零点，都在（2008，2009）内
故选D
函数f（x）=2x+x-2的零点所在的一个区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=2x+x-2在R上单调递增
又∵f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0
由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）
故选C
（2015秋•烟台期末）函数f（x）=ex+2x-3的零点所在的一个区间是（ ）
A（
B（
C（
D（
正确答案
解析
解：因为f（
故选C．
已知a∈R，若关于x的方程x2+x-|a+
A（-∞，-1）∪（
B（-∞，
C（-∞，-1）∪（1，+∞）
D（-∞，
正确答案
解析
解：若关于x的方程x2+x-|a+
则△=1-4（a2-|a+
故选：A．
已知
正确答案
解析
解：∵x1＜x2，
∴
又∵x3＜x4，
∴
∴
∴
又
∴
∴x4-x3+x2-x1∈[log23，+∞），
故选：B．
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