- 函数的应用
- 共9606题
设函数
正确答案
解析
由关于x的方程af2（x）-f（x）=0恰有三个不同的实数解，
其中f（x）=0，即x=1是其中一个解，
则方程
即函数y=
由图象易知：
实数a的取值范围为[1，+∞），
故选B．
已知函数
A
B
C
D
正确答案
解析
得x=
即交点P（
又函数f（x）+x+a-b有四个零点，
即函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a
有四个不同的交点．
由图象知，点P在l的上方，所以，
解得b-a＞2-
故选A．
若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时f（x）=x，则函数y=f（x）-log4|x|的零点个数为（ ）
正确答案
解析
解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[-1，1）上，
图象是2条斜率分别为1和-1的线段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象．
函数y=log4|x|也是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，y=log4|x|=log4x，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与f（x）交与3个不同点，∴函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数是6个．
故选D．
已知函数f（x）=x2-4x+a+3．
（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[1，4]上的值域；
（2）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（3）设函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常熟t，使区间D的长度为9，？若存在，求出所有满足这个条件的t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]）
正确答案
解：（1）a=0时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴函数f（x）在区间[1，4]上的最小值是f（x）min=f（2）=-1，
最大值是f（x）max=f（4）=（4-2）2-1=3，
∴f（x）在区间[1，4]上的值域是[-1，3]；
（2）当函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点时，
∵函数f（x）=x2-4x+a+3的图象是抛物线，开口向上，在对称轴的左侧是减函数，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∴
即
解得-8＜a＜0；
∴实数a的取值范围是（-8，0）；
（3））∵函数f（x）=x2-4x+a+3图象的对称轴是 x=2，
当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，
令f（t）-f（2）=9，
即（t2-4t+a+3）-（a-1）=9，
∴t2-4t-5=0，
解得t=-1，或t=5（不满足条件，舍去）；
当0＜t≤2时，f（x）在[t，4]的最小值是f（2）=a-1，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（a-1）=4，不满足条件；
当2＜t＜4时，f（x）在[t，4]的最小值是f（t）=t2-4t+a+3，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[t2-4t+a+3，a+3]；
区间长度为（a+3）-（t2-4t+a+3）=-t2+4t，
令-t2+4t=9，此方程无解；
综上，t=-1时，满足题目中的条件．
解析
解：（1）a=0时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴函数f（x）在区间[1，4]上的最小值是f（x）min=f（2）=-1，
最大值是f（x）max=f（4）=（4-2）2-1=3，
∴f（x）在区间[1，4]上的值域是[-1，3]；
（2）当函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点时，
∵函数f（x）=x2-4x+a+3的图象是抛物线，开口向上，在对称轴的左侧是减函数，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∴
即
解得-8＜a＜0；
∴实数a的取值范围是（-8，0）；
（3））∵函数f（x）=x2-4x+a+3图象的对称轴是 x=2，
当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，
令f（t）-f（2）=9，
即（t2-4t+a+3）-（a-1）=9，
∴t2-4t-5=0，
解得t=-1，或t=5（不满足条件，舍去）；
当0＜t≤2时，f（x）在[t，4]的最小值是f（2）=a-1，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（a-1）=4，不满足条件；
当2＜t＜4时，f（x）在[t，4]的最小值是f（t）=t2-4t+a+3，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[t2-4t+a+3，a+3]；
区间长度为（a+3）-（t2-4t+a+3）=-t2+4t，
令-t2+4t=9，此方程无解；
综上，t=-1时，满足题目中的条件．
函数f（x）=|4x-x2|-a有四个零点，则a的取值范围是______．
正确答案
（0，4）
解析
解：∵函数f（x）=|4x-x2|-a有四个零点，故直线y=a和函数y=|4x-x2|的图象有4个交点，如图所示：
结合图象可得0＜a＜4，
故答案为 （0，4）．
下列函数中，在（0，1）上有零点的函数是（ ）
Af（x）=ex-x-1
Bf（x）=xlnx
Cf（x）=
Df（x）=sin2x+lnx
正确答案
解析
解：A：f（1）=e-2＞0，f（0）=0，则可得函数在（0，1）没有零点
B：f（1）=0，f（0）没有意义，则函数在（0，1）没有零点
C：由函数的性质可知，当x∈（0，1），x＞sinx＞0恒成立，则
D：f（x）=sin2x+lnx在（0，1）单调递增，f（1）=sin1＞0，f（
故选：D
关于x的一元一次方程ax+x+4=0的根在[-2，1]内，则a的取值范围是 ______．
正确答案
（-∞，-5）∪（1，+∞）
解析
解：∵一元一次方程ax+x+4=0的根在[-2，1]内，
令f（x）=ax+x+4，
∴f（-2）f（1）＜0
∴（-2a+2）（a+5）＜0
∴（a-1）（a+5）＞0
∴a＞1或a＜-5，
故答案为：（-∞，-5）∪（1，+∞）
函数f（x）=
Aa＜0
B0＜a＜
C
Da≤0或a＞1
正确答案
解析
解：∵当x＞0时，x=1是函数f（x）的一个零点；
故当x≤0时，
-2x+a＜0恒成立；
即a＜2x恒成立，
故a＜0；
故选A．
设f（x）=
正确答案
（-ln2，0）
解析
解：依题意得关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有三个互不相同的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，则
∵x≥0，f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，∴0＜m＜2，
当m=2时，由e-x=2，∴x=-ln2，∴-ln2＜x1＜0，
又x2，x3关于x=1对称，则x2+x3=2，x2x3=-（x2-1）2+1，
∴0＜x2x3＜1，
∴-ln2＜x1x2x3＜0．
故答案为：（-ln2，0）．
函数f（x）=x3-2的零点所在的区间是（ ）
正确答案
解析
解：因为f（0）=-2＜0，f（1）=1-2＜0，f（2）=23-2=6＞0，f（3）=33-2=25＞0
所以函数f（x）=x3-2的零点所在的区间为（1，2）．
故选：C．
在下列区间中，函数f （x）=
正确答案
解析
解：由于函数f （x）=
即 f（1）f（2）＜0，故函数f （x）=
故选B．
对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b=
正确答案
-2≤k＜1
解析
解：当（x2-1）-（x+4）＜1时，f（x）=x2-1，（-2＜x＜3），
当（x2-1）-（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤-2），
函数y=f（x）=
由图象得：要使函数y=f（x）+k恰有三个零点，只要函数f（x）与y=-k的图形由三个交点即可，
所以-1＜-k≤2，所以-2≤k＜1；
故答案为：-2≤k＜1．
下列图象表示的函数中没有零点的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由于函数的零点就是函数的图象和横轴交点的横坐标，
观察图象可知A选项中图象对应的函数没有零点．
故选A．
函数f（x）=sinx-
正确答案
解析
解：函数f（x）=sinx-
在同一坐标系内画出函数y=sinx与直线y=
结合图象可得函数f（x）=sinx-
故选：C．
函数f（x）=x2在下列哪个区间存在零点（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x2，
∴画图象得出如下：
∵函数的零点时函数图象与x轴与函数图象交点的横坐标
∴根据图象得出函数的零点在（-1，2）内，
故选：B
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