- 函数的应用
- 共9606题
已知函数f（x）=ax2+8x+b，g（x）=（a-1）x2+2（4-a）x．
（1）若h（x）=f（x）-g（x）在区间[1，2]内有两个不同的零点，求4a+5b的取值范围；
（2）若b=3，对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个区间[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，试求l（a）的解析式，并求l（a）的最大值．
正确答案
=ax2+8x+b-（a-1）x2-2（4-a）x
=x2+2ax+b，由题意可得h（x）=0在区间[1，2]内有两个不同的实数解，
则有
将4a+5b=0平移，当经过点B（-2，4）时，4a+5b=12，
经过点C（-1，1）时，4a+5b=1，
则有4a+5b的取值范围是（1，12）；
（2）f（x）=a（x+
（1）当3-
l（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，故l（a）=
（2）当3-
l（a）是方程ax2+8x+3=-5的较大根，故l（a）=
综合以上，l（a）=
当a≤-8时，l（a）=
当-8＜a＜0时，l（a）=
所以a=-8时，l（a）取得最大值
解析
=ax2+8x+b-（a-1）x2-2（4-a）x
=x2+2ax+b，由题意可得h（x）=0在区间[1，2]内有两个不同的实数解，
则有
将4a+5b=0平移，当经过点B（-2，4）时，4a+5b=12，
经过点C（-1，1）时，4a+5b=1，
则有4a+5b的取值范围是（1，12）；
（2）f（x）=a（x+
（1）当3-
l（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，故l（a）=
（2）当3-
l（a）是方程ax2+8x+3=-5的较大根，故l（a）=
综合以上，l（a）=
当a≤-8时，l（a）=
当-8＜a＜0时，l（a）=
所以a=-8时，l（a）取得最大值
函数f（x）=lnx-7+2x的零点所在区间是______．
正确答案
（2，3）
解析
解：∵函数f（x）=lnx-7+2x，x∈（0，+∞）单调递增
f（1）=0-7+2=-5，
f（2）=ln2-3＜0
f（3）=ln3-1＞0
∴根据函数零点的存在性定理得出：
零点所在区间是（2，3）
故答案为：（2，3）
（2015秋•南通期中）已知函数
正确答案
（1，1+
解析
①当x＞0时，f（x）=x2-2x=（x-1）2-1，最小值为-1，
②当x≤0时，令f‘（x）=（x+1）ex=0，解得x=-1，
所以，x∈（-∞，-1）函数递减，（-1，0）函数递增，
且f（0）=
综合以上分析，作出函数图象，如右图．
由图可知，函数y=f（x）有两个零点，x=-1和x=2，----（*）
再考察函数y=f[f（x）-a]的零点，
由（*）可知，f（x）-a=-1或f（x）-a=2，
即f（x）=a-1或f（x）=a+2，根据题意，这两个方程共有四个根，
结合函数图象，a-1∈（0，
故填：（1，1+
已知函数f（x）=sinx+2|sinx|-k，x∈[0，2π]有且仅有两个零点，则k的取值范围是______．
正确答案
（1，3）
解析
解：∵函数f（x）=sinx+2|sinx|-k，x∈[0，2π]有且仅有两个零点，
则k=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]；
作函数y=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象如下；
则由图象可知，1＜k＜3；
故答案为：（1，3）．
（2015秋•潍坊期中）已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[-4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（0，1）
解析
解：因为f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4为周期的函数，
且f（x）为奇函数，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，
再令x=-2代入f（x+4）=f（x）得，f（-2）=f（2）=-f（2），
所以，f（-2）=f（2）=0，
因此，要使f（x）=0在[-4，4]上有9个零点，
则f（x）在（0，4]上必有4个零点，且已有零点x=2，x=4，
所以，当x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点，
（依据：若在（0，2）有唯一零点，则（-2，0）有唯一零点，则（2，4）有唯一零点）
即令f（x）=ln（x2+a）=0，分离a得，a=1-x2，x∈（0，2），
解得a∈（-3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），
故答案为：（0，1）．
设函数f（x）=2x-4，则f（x）的零点是______．
正确答案
2
解析
解：∵函数f（x）=2x-4=0
∴2x=4，
∴x=2，
故答案为：2．
已知x0是函数f（x）=（
正确答案
解析
解：∵x0是f（x）=（
∴f（x0）=0
∵f（x）=（
∴f（x1）＞f（x0）=0＞f（x2），
故选B．
设函数f（x）=4sinx-x，则在下列区间中函数f（x）存在零点的是（ ）
正确答案
解析
解：因为函数f（x）=4sinx-x，
所以f（-3）=-4sin3+3＞0，f（-2）=-4sin2+2＜0，
所以f（-3）•f（-2）＜0．
所以区间[-3，-2]存在函数f（x）的零点．
故选B．
若函数f（x）=ln（x+1）-
正确答案
解析
解：∵f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，
∴f（1）f（2）＜0
∴函数的零点在（1，2）之间，
∵函数f（x）=ln（x+1）-
∴k=1，
又y=ln（x+1）与y=
∴k的值为-1或1．
故选D．
定义函数f（x）=m*x，其中
（1）若
（2）设
正确答案
[
M≥N
解析
解：（1）因为
令函数y=f（x）-a=0，
得到f（x）=a，
∵x∈[1，2]，
∴f（x）∈[
∴a∈[
（2）∵
当a，b＜0时，
M=N，
当a，b＞0时，
M＞N，
故M≥N．
故答案为：（1）[
函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（
Aa＜-
Ba＜-
C-
Da＜-
正确答案
解析
解：若a=0，则f（x）=3，没有零点，∴a=0不成立，
若a＜0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（
若a＞0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（
即函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（
若在区间（
则f（
即（2alog2
即3（4a+3）＜0，则a＜-
故选：D
已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的解析式；
（III）设函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a，如果函数y=g（x）在区间（-1，1）上有零点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（I）∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，
令x=1，y=0可得f（1）-f（0）=1×（1+0+1），
即 0-f（0）=2，解得f（0）=-2．
（II）令y=-x，可得 f（0）-f（-x）=x（1-x），即 f（-x）=x2-x-2，∴f（x）=x2+x-2．
（III）若函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a=x2+（a-2）x+a-2在区间（-1，1）上有唯一零点，
则有g（-1）g（1）=（-2+3）[0+（a-3+a）]＜0，解得 a＜
若g（x）在区间（-1，1）上有两个零点，则
综上可得，实数a的取值范围为（-∞，
解析
解：（I）∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，
令x=1，y=0可得f（1）-f（0）=1×（1+0+1），
即 0-f（0）=2，解得f（0）=-2．
（II）令y=-x，可得 f（0）-f（-x）=x（1-x），即 f（-x）=x2-x-2，∴f（x）=x2+x-2．
（III）若函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a=x2+（a-2）x+a-2在区间（-1，1）上有唯一零点，
则有g（-1）g（1）=（-2+3）[0+（a-3+a）]＜0，解得 a＜
若g（x）在区间（-1，1）上有两个零点，则
综上可得，实数a的取值范围为（-∞，
若定义在R上的函数满足f（-x）=f（x），f（4-x）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=
正确答案
解析
解：定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），
∴函数是偶函数，关于x=1对称，
∵函数f（x）=xex的定义域为R，
f′（x）=（xex）′=x′ex+x（ex）′=ex+xex
令f′（x）=ex+xex=ex（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：
由表可知函数f（x）=xex的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）．
当x=-1时，函数f（x）=xex的极小值为f（-1）=-
y=|xex|，在x=-1时取得极大值：
x＜0时有3个交点，x＞0时有1个交点
共有4个交点．
故选：B．
已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤0时f（x）=e-x；当0＜x≤1时，f（x）=4x2-4x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函数g（x）在[0，3]上的零点个数．
正确答案
解：（Ⅰ）∵-1＜x≤0时，函数f（x）=e-x是单调递减的，
0＜x≤1时，函数f（x）=4x2-4x+1的图象的对称轴是x=
∴在（0，
又∵当f（0）=e-0=1=4×02-4×0+1．
综上可得：
函数的单调递减区间为（-1，
（Ⅱ）∵f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的函数，
令g（x）=0，
∴f（x）=kx，
令h（x）=kx，
画出f（x），h（x）的图象，
如图示：
结合图象：
①k≥e时，g（x）有1个零点，
②1＜k＜e时，g（x）有2个零点，
③
④0＜k≤
解析
解：（Ⅰ）∵-1＜x≤0时，函数f（x）=e-x是单调递减的，
0＜x≤1时，函数f（x）=4x2-4x+1的图象的对称轴是x=
∴在（0，
又∵当f（0）=e-0=1=4×02-4×0+1．
综上可得：
函数的单调递减区间为（-1，
（Ⅱ）∵f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的函数，
令g（x）=0，
∴f（x）=kx，
令h（x）=kx，
画出f（x），h（x）的图象，
如图示：
结合图象：
①k≥e时，g（x）有1个零点，
②1＜k＜e时，g（x）有2个零点，
③
④0＜k≤
函数f（x）=lgx-
正确答案
解析
解：函数f（x）=lgx-
f（2）=lg2-
f（3）=lg3-lg
故f（2）f（3）＜0；
从而可知，
函数f（x）=lgx-
故选C．
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