- 函数的应用
- 共9606题
函数f（x）=3x+x在下列哪个区间内有零点（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=3x+x
∴f（-2）=-
∴f（-1）=-
f（0）=1＞0，
∴f（-1）f（0）＜0
∴函数的零点在[-1，0]上
故选B．
函数f（x）=2x+x-4的零点所在的一个区间是（ ）
正确答案
解析
解：对于连续函数f（x）=2x+x-4，由于f（1）=-1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）=2x+x-4的零点所在的一个区间是（1，2），
故选B．
已知函数f（x）满足f（x）=2f（
A（0，
B（0，
C[
D[
正确答案
解析
解：在区间[
①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=
若g′（x）＜0，可得x＞
若g′（x）＞0，可得x＜
此时g（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴
设 
∴f（x）=2f（ 
g′（x）=-
若g′（x）＞0，可得x＜-
若g′（x）＜0，可得x＞-
在[
综上①②可得 
②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间[
③a=0，显然只有一解，舍去
综上：
故选C．
若函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=
∴f′（x）=x2+2x-a，
∵对称轴x=-1，f′（1）=3-a≥0，
∴a≤3，
∵在区间（1，2）上有零点，
∴f（1）f（2）＜0，
∴
∴实数a的取值范围是
故答案为：
函数f（x）=ax+|
正确答案
0＜a＜
解析
解：由f（x）=ax+|
得ax=-|
设函数y=ax和y=-|
作出函数y=-|
若a＞1，则函数y=ax和y=-|
若0＜a＜1，则函数y=ax单调递减，y=-|
要使两个图象有两个不同的公共点，
则当x=
即
即a
此时0＜a＜
故答案为：0＜a＜
二次函数f（x）=2x2+bx-3（b∈R）零点的个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵二次函数f（x）=2x2+bx-3的判别式△=b2+24＞0，
故二次函数f（x）=2x2+bx-3的零点个数为2，
故选：C．
已知函数 f（x）=
（1）分别判断函数f（x）和g（x）的奇偶性；
（2）设函数h（x）=f（x）+g（x），问：函数h（x）在区间（-2，2）上是否有零点？请说明理由．
正确答案
解：（1）知f（x），g（x）的定义域关于原点对称，
∵f（x）=
∴f（-x）=
∴函数f（x）为偶函数．
∵g（x）=lg
∴函数g（x）为奇函数．
（2）函数h（x）=f（x）+g（x），
∴h（0）=f（0）+g（0）=-
h（-2）=f（-2）+g（-2）=
∴函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．
从而函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．
解析
解：（1）知f（x），g（x）的定义域关于原点对称，
∵f（x）=
∴f（-x）=
∴函数f（x）为偶函数．
∵g（x）=lg
∴函数g（x）为奇函数．
（2）函数h（x）=f（x）+g（x），
∴h（0）=f（0）+g（0）=-
h（-2）=f（-2）+g（-2）=
∴函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．
从而函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．
定义域为R的函数f（x）=
A
B16
C25
D15
正确答案
解析
解：①若x=1，f（x）=1，故12+b+
②若x≠1，f（x）=
∴
解
∴x12+x22+x32+x42+x52=12+02+22+（-2）2+42=25．
故选：C．
设函数f（x）=
正确答案
解析
函数g（x）=f（x）+a有三个零点可转化为方程
f（x）=-a有三个不同的根，
则由图象可知，a=-1，
则x1，x2，x3分别为0，1，2；
故x12+x22+x32=5，
故选B．
函数f（x）=x3-6x2+9x-10=0的零点个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x3-6x2+9x-10=0，∴f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）．
令f′（x）=0，求得 x=1，或 x=3．
再根据导数的符号可得函数的增区间为（-∞，1）、（3，+∞），减区间为（1，3），
故函数的极大值为f（1）=-6＜0，极小值为f（3）=-10＜0，
故三次函数f（x）=x3-6x2+9x-10=0的零点个数是1，
故选：C．
已知函数f（x）=a（1-2|x-
（Ⅰ）求函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围．
正确答案
解：（I）由题，函数f（x）的图象与x轴交于（0，0），（1，0），且有最大值为a，
故所求即为 
（Ⅱ）分类讨论如下：
（1）当0＜a＜
所以f（f（x））=x只有一个解x=0，又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
（2）当a=
所以f（f（x））=x有解集{x|x≤
又当x≤
（3）当a＞
所以f（f（x））=x有四个解0，
又f（0）=0，f（
f（
故只有
综上所述，所求a的取值范围为a＞
解析
解：（I）由题，函数f（x）的图象与x轴交于（0，0），（1，0），且有最大值为a，
故所求即为
（Ⅱ）分类讨论如下：
（1）当0＜a＜
所以f（f（x））=x只有一个解x=0，又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
（2）当a=
所以f（f（x））=x有解集{x|x≤
又当x≤
（3）当a＞
所以f（f（x））=x有四个解0，
又f（0）=0，f（
f（
故只有
综上所述，所求a的取值范围为a＞
指数方程22x+1-9•2x+4=0的解集是（ ）
A{2}
B{-1}
C{
D{-1，2}
正确答案
解析
解：由22x+1-9•2x+4=0得2•（2x）2-9•2x+4=0，
设t=2x，则t＞0，
则方程等价为2•t2-9•t+4=0，
即（t-4）（2t-1）=0，
解得t=4，或t=
由2x=4得x=2，
由2x=
即方程的解集为{-1，2}，
故选：D
设f（x）=ex，g（x）=ax2+bx+c．
（Ⅰ）
（i）求g（x）的表达式；
（ii）令h（x）=f（x）-g（x），证明：函数h（x）恰有一个零点；
（Ⅱ）求证：
正确答案
解：（ I）（ i）∵
∴
∴g（x）=
（ ii）由（ i）知
所以h‘（x）=ex-x-1．…（5分）
设l（x）=ex-x-1，则l'（x）=ex-1．令l'（x）=0可得x=0．
当x＜0时，l'（x）＜0，当x＞0时，l'（x）＞0．
所以l（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
所以x=0时，l（x）有极小值l（0），也就是最小值为0，
所以l（x）≥0
所以h'（x）≥0，故h（x）是R上的增函数．
又h（0）=0，所以h（x）有一个零点0，
假设h（x）不只一个零点，不妨设h（x）有两个零点，分别为x1，x2且x1＜x2．
则h（x1）=0，h（x2）=0，从而h（x1）=h（x2），
又h（x）是R上的增函数，且x1＜x2，所以h（x1）＜h（x2）
这与h（x1）=h（x2）相矛盾，所以假设不成立，
所以h（x）只有一个零点0，
（ II）证明：由（ I）得ex≥x+1，当x＞-1时，有ln（x+1）≤x，
当且仅当x=0时取等号，
因此
∴
∴（1
故：
解析
解：（ I）（ i）∵
∴
∴g（x）=
（ ii）由（ i）知
所以h‘（x）=ex-x-1．…（5分）
设l（x）=ex-x-1，则l'（x）=ex-1．令l'（x）=0可得x=0．
当x＜0时，l'（x）＜0，当x＞0时，l'（x）＞0．
所以l（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
所以x=0时，l（x）有极小值l（0），也就是最小值为0，
所以l（x）≥0
所以h'（x）≥0，故h（x）是R上的增函数．
又h（0）=0，所以h（x）有一个零点0，
假设h（x）不只一个零点，不妨设h（x）有两个零点，分别为x1，x2且x1＜x2．
则h（x1）=0，h（x2）=0，从而h（x1）=h（x2），
又h（x）是R上的增函数，且x1＜x2，所以h（x1）＜h（x2）
这与h（x1）=h（x2）相矛盾，所以假设不成立，
所以h（x）只有一个零点0，
（ II）证明：由（ I）得ex≥x+1，当x＞-1时，有ln（x+1）≤x，
当且仅当x=0时取等号，
因此
∴
∴（1
故：
函数f（x）=2x2-4x-3的零点个数为______．
正确答案
2
解析
解：函数f（x）=2x2-4x-3的零点即为2x2-4x-3=0的根，
因为△=（-4）2+4×3×2=40＞0．
所以该二次方程有两个不相等的实数根，
所以函数f（x）=2x2-4x-3有2个零点．
故答案为2
函数y=2（x-1）sinπx-1（-2≤x≤4）的所有零点之和等于______．
正确答案
4
解析
解：由f（x）=2（x-1）sinπx-1=0（-2≤x≤4）
可得sinπx=
令g（x）=sinπx，h（x）=
如图示：
则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数
故交点关于（1，0）对称
又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D
则xA+xB+xC+xD=4
故答案为：4
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