- 函数的应用
- 共9606题
方程ex-x-2=0的根所在的区间为(k,k+1)(k∈Z),则k的值为( )
正确答案
解析
解:令函数f(x)=ex-x-2,则方程ex-x-2=0的根即为函数f(x)的零点,
再由f(-2)=>0,且f(-)=
-1<0,可得函数f(x)在(-2,-1)上有零点.
同理,根据f(1)=e-3<0,f(2)=e2>0,可得函数f(x)在(1,2)上有零点.
故k=-2,或k=1,
故选:B.
设关于x的方程lnx+2x-6=0的实数解为x0,则x0所在的区间是( )
正确答案
解析
解:令f(x)=lnx+2x-6,可知函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增,因此函数f(x)至多有一个零点.
又=
=
<lne-1=0,f(3)=ln3+2×3-6=ln3>0,
∴,由函数零点的判定定理可知:函数f(x)在区间
内存在零点.
综上可知:函数f(x)的唯一的一个零点在区间内.
故选A.
函数的零点的个数是( )
正确答案
解析
解:在同一坐标系中画出函数
,y=log2x,如图所示,由图象知它们有4个交点,
即有4个零点.
故选C.
已知a>b>0,且|lga|=|lgb|,则函数f(x)=ax+x-b的零点落在区间( )
正确答案
解析
解:∵a>b>0,且|lga|=|lgb|,
∴a>1>b>0;且ab=1;
∴函数f(x)=ax+x-b在定义域上为增函数,
又∵f(-1)=-1-b=-1<0,
f(0)=1+0-b>0;
故函数f(x)=ax+x-b的零点落在区间(-1,0)上,
故选B.
设f(x)=3ax-2a+1,a为常数.若存在x0∈(0,1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是______.
正确答案
解析
解:因为存在x0∈(0,1),使得f(x0)=0,
所以函数f(x)在(0,1)上有零点,
因此f(0)×f(1)<0,即:(1-2a)(a+1)<0
解得:,故答案为:
.
设实数a<b,已知函数f(x)=(x-a)2-a,g(x)=(x-b)2-b,令,若函数F(x)+x+a-b有三个零点,则b-a的值是( )
正确答案
解析
解:作函数F(x)的图象,由方程f(x)=g(x)得,即交点
,
又函数F(x)+x+a-b有三个零点,即方程F(x)=-x+b-a 有三个不同的实数解,
故函数F(x)的图象与直线l:y=-x+b-a有三个不同的交点,
由图象知P在l上,解得.
故选D.
方程log2(a-2x)=2-x有解,则实数a的最小值为______.
正确答案
4
解析
解:方程2-x=log2(a-2x)有解,
即方程程a=2x+22-x有解,
∵
∴实数a的取值范围是[4,+∞)
故答为:4
函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间是( )
正确答案
解析
解:∵函数f(x)=ex+x-2,∴f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=e+1-2=e-1>0,故有f(0)f(1)<0,
根据函数零点的判定定理可得 函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间是(0,1),
故选A.
若f(x)=,则函数g(x)=f(x)-x的零点为______.
正确答案
1,1
解析
解:g(x)=f(x)-x=;
令g(x)=0,x2-2x-1=0,或1-x=0;
①x2-2x-1=0时,x=,x=
不满足x≥2,或x≤-1,应舍去,∴x=
;
②1-x=0时,x=1,满足-1<x<2;
∴综上得g(x)的零点为,1.
已知函数f(x)定义在R上,且周期为3,当1≤x≤3时,f(x)=x2+4.
(1)求f(5)+f(7)的值;
(2)若关于x的方程f(x)=mx2(m∈R)在区间[4,6]有实根,求实数m的范围.
正确答案
解:(1)∵函数f(x)的周期为3,
∴f(5)+f(7)=f(2)+f(1)=4+4+1+4=13;
(2)x∈[4,6]时,f(x)=f(x-3)=(x-3)2+4;
故方程f(x)=mx2可化为(x-3)2+4=mx2,
故m=
=13(-
)2+
,
∵4≤x≤6,
∴≤13(
-
)2+
≤
,
即≤m≤
.
解析
解:(1)∵函数f(x)的周期为3,
∴f(5)+f(7)=f(2)+f(1)=4+4+1+4=13;
(2)x∈[4,6]时,f(x)=f(x-3)=(x-3)2+4;
故方程f(x)=mx2可化为(x-3)2+4=mx2,
故m=
=13(-
)2+
,
∵4≤x≤6,
∴≤13(
-
)2+
≤
,
即≤m≤
.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的两个根为x1,x2,满足0<x1<x2<,那么当x∈(0,x1)时,x,f(x)与x1的大小关系为( )
正确答案
解析
解:令F(x)=f(x)-x.
∵x1,x2是方程f(x)-x=0的根,
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2).
当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,
又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,
即x<f(x).
x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x1<x2<,
∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.
得x1-f(x)>0.
由此得f(x)<x1.
综上x<f(x)<x1,
故选:C
定义在R上的函数,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰好有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)=( )
正确答案
解析
解:由题意,对于f2(x)+bf(x)+c=0来说,f(x)最多只有2解,又f(x)=lg|x-2|(x≠2),当x不等于2时,x最多四解,而题目要求5解,即可推断f(2)为一解
∵的图象关于x=2对称,
∴x1+x2+x3+x4+x5=10
∴f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(10)=lg8
故选C.
用“二分法”求方程x3-x-2=0在区间(1,2)内的实根,取区间中点为x0=1.5,那么下一个有根的区间是______.
正确答案
(1.5,2)
解析
解:设函数f(x)=x3-x-2,则
∵f(1)=-2<0,f(2)=4>0,f(1.5)=-<0
∴下一个有根区间是(1.5,2)
故答案为(1.5,2)
设[x]表示不大于x的最大整数,则函数y=[lgx-1]-2lgx+1的零点之积为( )
正确答案
解析
解:∵y=[lgx]-2lgx,
①x=1是零点,
②x>1时,y<0,
③0<x≤时,y>0,
∴只需讨论<x<1的情况,
∴[lgx]-2lgx=-1-2lgx=0,
解得:x==
,
∴零点之积为:1×=
,
故选:B.
已知函数若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是( )
正确答案
解析
解:函数f(x)的图象如图:
使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点⇔f(x)-m=0有3个解,
即函数y=f(x)与函数y=m有3个交点,
故有0<m<1,
故选B.
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