- 函数的应用
- 共9606题
证明：函数y=x2+x-1在（0，1）上有零点．
正确答案
证明：∵函数y=f（x）=x2+x-1在[0，1]上连续，
且f（0）=-1，f（1）=1，
∴函数y=x2+x-1在（0，1）上有零点．
解析
证明：∵函数y=f（x）=x2+x-1在[0，1]上连续，
且f（0）=-1，f（1）=1，
∴函数y=x2+x-1在（0，1）上有零点．
若f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的实数x≥0，总有正常数T，使得f（x+T）=f（x）+T成立，则称f（x）具有“性质p”，已知函数g（x）具有“性质p”，且在[0，T]上，g（x）=x2；若当x∈[-T，4T]时，函数y=g（x）-kx恰有8个零点，则实数k=______．
正确答案
4
解析
解：∵g（T）=g（0）+T，
∴T2=0+T，
解得，T=1或T=0（舍去）；
故作函数y=g（x）与y=kx在[-1，4]上的图象如下，
结合图象可知，
当直线y=kx与y=g（x）在最后一段上相切时，有8个交点，
即函数y=g（x）-kx恰有8个零点；
此时设切点为（x1，g（x1）），则
即
解得，x1=2
故k=2（2
故答案为：4
若方程|x2+4x|=m有实数根，则所有实数根的和可能是（ ）
正确答案
解析
解：函数y=|x2+4x|由函数y=x2+4x的图象纵向对折变换所得：
如下图所示：
由图可得：函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=-2对称，则方程|x2+4x|=m的实根也关于直线x=-2对称，
当m＜0时，方程|x2+4x|=m无实根，
当m=0或m＞4时，方程|x2+4x|=m有两个实根，它们的和为-4，
当0＜m＜4时，方程|x2+4x|=m有四个实根，它们的和为-8，
当m=4时，方程|x2+4x|=m有三个实根，它们的和为-6，
故选：D
已知函数f（x）=x2+|x-1|+a|x+1|在R上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______．
正确答案
-3-2
解析
解：函数f（x）=x2+|x-1|+a|x+1|在R上有两个不同的零点
可化为y=x2+|x-1|与y=-a|x+1|在R上有两个不同的交点，
作函数y=x2+|x-1|与y=-a|x+1|的图象如下，
结合图象可知，
当直线y=-a（x+1）与y=x2-x+1相切时为一个临界值，
设切点为（x，x2-x+1），则
故-a=2
故a＜3-2
当直线y=a（x+1）与y=x2-x+1相切时为另一个临界值，
设切点为（x，x2-x+1），则
故a＞2（-
故-3-2
故答案为：-3-2
设函数f（x）=2x-m．
（1）当m=8时，求函数f（x）的零点．
（2）当m=-1时，判断g（x）=
正确答案
解：（1）当m=8时，2x-8=0，∴x=3，
∴函数f（x）的零点是x=3．
（2）当m=-1时，g（x）=
证明如下：函数的定义域为R，
g（-x）=
∴函数g（x）是奇函数．
解析
解：（1）当m=8时，2x-8=0，∴x=3，
∴函数f（x）的零点是x=3．
（2）当m=-1时，g（x）=
证明如下：函数的定义域为R，
g（-x）=
∴函数g（x）是奇函数．
f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（ ）
正确答案
解析
解：由题意，知
当x=-1，0，1，2，3时，y的值是-1，-3，-5，-1，15
由零点判定定理知，f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（2，3）
故选D
已知函数f（x）=
（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）∵函数f（x）有零点，
∴
∴m=
（2）f‘（x）=-
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（-m+
故函数f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥
解析
解：（1）∵函数f（x）有零点，
∴
∴m=
（2）f‘（x）=-
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（-m+
故函数f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥
若函数f（x）=
正确答案
解析
解：因为f（x）=
所以
解得：a=2或a=
故答案为
设α，β是关于x的方程x2+2x+m=0（m∈R）的两个根，求|α|+|β|的值．
正确答案
解：∵α，β是关于x的方程x2+2x+m=0（m∈R）的两个根，
则△=22-4m≥0，解得m≤1，
且α+β=-2，αβ=m．
当m=1时，α=β=-1，此时|α|+|β|=2；
当m＜1时，不妨设α＜β，
若0≤m＜1，则α＜0，β≤0，
则|α|+|β|=-α-β=-（α+β）=-（-2）=2；
若m＜0，则α＜0，β＞0，且|α|＞|β|，
∴|α|+|β|=-α+β=-（α-β）=
综上，当0≤m≤1时，|α|+|β|=2；
当m＜0时，|α|+|β|=
解析
解：∵α，β是关于x的方程x2+2x+m=0（m∈R）的两个根，
则△=22-4m≥0，解得m≤1，
且α+β=-2，αβ=m．
当m=1时，α=β=-1，此时|α|+|β|=2；
当m＜1时，不妨设α＜β，
若0≤m＜1，则α＜0，β≤0，
则|α|+|β|=-α-β=-（α+β）=-（-2）=2；
若m＜0，则α＜0，β＞0，且|α|＞|β|，
∴|α|+|β|=-α+β=-（α-β）=
综上，当0≤m≤1时，|α|+|β|=2；
当m＜0时，|α|+|β|=
（2015秋•姜堰区校级月考）已知函数f（x）=ax3-3x2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围为______．
正确答案
a＜-1
解析
解：原函数的零点即为ax3-3x2+4=0的根．
当a=0时，原方程化为3x2-4=0，解得
当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x，令f′（x）=0，解得x=0或x=
①若a＞0，则x=0是极大值点，x=
②若a＜0，则x=0是极小值点，此时若函数只有一个正的零点，只需f（0）=4＞0，且
解得a＜-1．
综上可知，a＜-1即为所求．
故答案为a＜-1．
下列说法中正确的说法个数为（ ）
①由1，
②定义在R上的函数f（x），若满足f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③定义在R上的函数f（x）满足f（1）＞f（2），则函数f（x）在R上不是增函数；
④函数f（x）在区间（a，b）上满足f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上有零点．
正确答案
解析
解：∵①由1，
②不正确，如函数f（x）=x2，尽管满足f（0）=0，但此函数不是奇函数．
③正确，由于定义在R上的函数f（x）满足f（1）＞f（2），则函数f（x）在R上一定不是增函数．
④不正确，例如函数f（x）=
但数f（x）=
故选A．
若方程log2x=-x+2的解为x0，且x0∈（k，k+1），k∈N，则k=______．
正确答案
1
解析
解：由于x0是方程log2x=2-x的根，
设f（x）=log2x+x-2，显然f（x）是（0，+∞）上的增函数，x0是连续f（x）的零点．
因为f（2）=log22+2-2＞0，f（1）=log21+1-2=-1＜0，
故x0∈（1，2），则k=1
故答案为：1．
若函数f（x）=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______．
正确答案
-2＜a＜2
解析
解：设g（x）=x3，h（x）=3x-a
∵f（x）=x3-3x+a有三个不同零点，即g（x）与h（x）有三个交点
∵g‘（x）=3x2，h'（x）=3
当g（x）与h（x）相切时
g'（x）=h'（x），3x2=3，得x=1，或x=-1
当x=1时，g（x）=1，h（x）=3-a=1，得a=2
当x=-1时，g（x）=-1，h（x）=-3-a=-1，得a=-2
要使得g（x）与h（x）有三个交点，则-2＜a＜2
故答案为：-2＜a＜2
函数y=
正确答案
1
解析
解：令
故答案为1．
已知函数f（x）=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：y=f[f（x）]-4的零点即方程f[f（x）]-4=0的根，
故3f（x）+1=4；
解得，f（x）=1；
当x∈[-2，0]时，
sin（-πx）=1，故x=-
故选D．
扫码查看完整答案与解析