热门试卷

解：设函数f(x)=+1是定义在非零实数集上的函数，且在(-∞，0)内是减函数，在(0，+∞)内也是减函数，

而f(-)=-1＜0，所以方程+1=0在区间(-，0)内没有实数解；

又f()=3＞0，所以方程+1=0在区间(0，)内也没有实数解。

（1）函数的图象与x轴有两个不同的交点，有二次项系数 2（m-1）≠0，故m≠1，

且判别式△=16m2-8（m-1）（2m-1）=24m+3＞0，故m＞，

综上得：m＞且m≠1．

（2）如果函数的一个零点在原点，则函数图象过原点，f（0）=2m-1=0，

∴m=．

∵f（x）=（ax2+x-1）ex，∴f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x-1）ex=（ax2+2ax+x）ex，

（1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y-e=4e（x-1），

化为一般式可得4ex-y-3e=0；

（2）当a＜0时，f′（x）=（ax2+2ax+x）ex=[x（ax+2a+1）]ex，

若a=-，f′（x）=-x2ex＜0，函数f（x）在R上单调递减，

若a＜-，当x∈（-∞，-2-）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（-2-，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

若-＜a＜0，当x∈（-∞，0）和（-2-，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（0，-2-）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

（3）若a=-1，f（x）=（-x2+x-1）ex，可得f（x）-g（x）=（-x2+x-1）ex-x3-x2-m，

原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，

即y=m与y=（-x2+x-1）ex-x3-x2的图象有3个不同的交点，

构造函数F（x）=（-x2+x-1）ex-x3-x2，

则F′（x）=（-2x+1）ex+（-x2+x-1）ex-x2-x

=（-x2-x）ex-x2-x=-x（x+1）（ex+1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1，

且当x∈（-∞，-1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，

当x∈（-1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，

故函数F（x）在x=-1处取极小值F（-1）=--，在x=0处取极大值F（0）=-1，

要满足题意只需∈（--，-1）即可．

故实数m的取值范围为：（--，-1）

（Ⅰ）依题意，△=a2-4a=0⇒a=0或a=4

又由a＞0得a=4，f（x）=x2-4x+4

∴Sn=n2-4n+4

当n=1时，a1=S1=1-4+4=1；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5∴an=（6分）

（Ⅱ）∵Tn=+++++①

∴Tn=+++++②

由①-②得Tn=-+2(+++)-

∴Tn=-．（12分）

解：方程f1(x)=0，f2(x)=0有解，

理由是：观察fi(x)的图象在(-∞，0)内只有f1(x)、f2(x)与x轴有交点，

所以f1(x)=0，f2(x)=0在(-∞，0)内有解。

（1）详见解析；（2）.

试题分析：(1)定义域关于原点对称，将代入算得

(2)考虑用补集思想解决此问题，因为,所以函数为单调递减函数，如果有零点，则,得到的取值范围，因为是求没有零点的的取值范围，所以再求其补集.

试题解析：解：（1 ）定义域为关于原点对称．

因为，

所以函数是定义在上的奇函数

（2）是实数集上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数的图象不间断，在区间恰有一个零点，有

即解之得，故函数在区间没有零点时，实数的取值范围是               14分

（Ⅰ）因为f′（x）x-6+，

所以f′（1）=1-6+m=0，解得m=5；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2-6x+5lnx（x＞0），

所以f′（x）=x-6+==，

当x∈（1，5）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（5，+∞）或x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以f（x）的极大值为f（1）=-6=-，

极小值为f（5）=×25-30+5ln5=-+5ln5，

又x→0时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，

结合图象可知：当且仅当f（5）＜n＜f（1）时，直线y=n与函数y=f（x）的图象有3个交点，

∴-+5ln5＜n＜-；

（III）G′（x0）的符号为正．证明如下：

因为G（x）=f（x）+g（x）=x2-6x+5lnx+（-5-a）lnx+x2+（6-b）x+2=x2+2-alnx-bx有两个零点x1，x2，

所以有，

两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b（x2-x1）=0，即x2+x1-b=，

于是G′(x0)=2x0--b=(x1+x2-b)-

=-=[ln-]=[ln-]，

①，令=t，则t＞1，且G′（x0）=（lnt-）．

设u（t）=lnt-（t＞1），

则u′（t）=-=＞0，

则u（t）=lnt-在（1，+∞）上为增函数．

而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-＞0．

又因为a＞0，x2-x1＞0，所以G′（x0）＞0．

②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0．

综上所述：G′（x0）的符号为正．