- 函数的应用
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若函数f（x）=x3+x2+2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据
如下：那么方程x3+x2+2x-2的一个近似根（精确到0.1）为______．
正确答案
由二分法知，方程x3+x2+2x-2的根在区间（1.40625，1.4375）
∴精确到0.1时，方程的近似根为1.4
故答案为1.4．
设方程2x+x=4的根为x0，若x0∈（k-
正确答案
令f（x）=2x+x-4，则f（x0）=0，且f（x）=2x+x-4在定义域内是个增函数，
∴f（ k-
即：2k-12+k-
又k 取整数，
∴k=1；
故答案为1．
用二分法求方程f（x）=0在区间（0，2）的近似根，f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，下一个求f（m），则m=（ ）
正确答案
1.4375
已知f(x)=ax2+bx，ab≠0，且f(x1)=f(x2)=2 009，则f(x1+x2)=（ ）。
正确答案
0
函数f（x）=ex+2x-6（e≈2.718）的零点属于区间（n，n+1）（n∈Z），则n=______．
正确答案
∵函数f（x）=ex+2x-6在R上单调递增且连续
又∵f（0）=-5＜0，f（1）=e-4＜0，f（2）=e2-2＞0
∴f（1）f（2）＜0
由函数的零点判定定理可得，零点属于的区间（1，2）
∴n=1
故答案为：1．
用“二分法”求方程2x+3x-7=0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0=2，那么下一个有根的区间是______．
正确答案
设f（x）=2x+3x-7，
f（1）=2+3-7＜0，f（3）=10＞0，
f（2）=3＞0，
f（x）零点所在的区间为（1，2）
∴方程2x+3x-7=0有根的区间是（1，2），
故答案为：（1，2）．
下列是函数f（x）（连续不断的函数）在区间[1，2]上一些点的函数值
由此可判断：当精确度为0.1时，方程f（x）=0的一个近似解为______（保留两位有效数字）．
正确答案
由所给的函数值的表格可以看出，
在x=1.406与x=1.438这两个数字对应的函数值的符号不同，
即f（1.406）f（1.438）＜0，
∴函数的零点在（1.406，1.438）上，
故当精确度为0.1时，方程f（x）=0的一个近似解为1.4
故答案为：1.4
用二分法求函数f（x）=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x-x-4=0的一个近似解（精确到0.01）为______．
正确答案
由图表知，f（1.5625）=0.003＞0，f（1.5562）=-0.0029＜0，
∴函数f（x）=3x-x-4的一个零点在区间（1.5625，1.5562）上，
故函数的零点的近似值（精确到0.01）为 1.56，可得方程3x-x-4=0的一个近似解（精确到0.01）为 1.56，
故答案为 1.56．
事实证明：总存在正实数a，b（a＜b），使得ab=ba，请你写出所有符合条件的a的取值范围是______．
正确答案
∵ab=ba
∴lnab=lnba又∵a，b是正实数
∴blna=alnb
∴
设函数f（x）=
令f'（x）＞0，得0＜x＜e；令f'（x）＜0，得x＞e
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
又当x→+∞时，f（x）→0且f（x）＞0，
∴f（x）的图象如图所示：
又∵a＜b，
∴1＜a＜e．
故答案为：（1，e）．
用二分法求函数f（x）=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下：
f（1.6000）≈0.200 f（1.5875）≈0.133 f（1.5750）≈0.067 f（1.5625）≈0.003 f（1.5562）≈-0.029 f（1.5500）≈-0.060
据此，可得方程f（x）=0的一个近似解（精确到0．Ol）为______．
正确答案
由题意知，f（1.5625）=0.003＞0，f（1.5562）=-0.0029＜0，
∴函数f（x）=3x-x-4的一个零点在区间（1.5625，1.5562）上，
故函数的零点的近似值（精确到0.01）为 1.56，可得方程3x-x-4=0的一个近似解（精确到0.01）为 1.56，
故答案为：1.56．
已知函数
（1）求证：f(x)在(-1，+∞)上为增函数；
（2）若a=3，求方程f(x)=0的正根（精确度为0.1）。
正确答案
（1）证明：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且
∴
又∵
∴
于是
故函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数。
（2）解：由(1)知，当a=3时，
故在(0，+∞)上也单调递增，因此f(x)=0的正根仅有一个，
以下用二分法求这一正根，由于f(0)=-1＜0，f(1)=＞0，
∴取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
由于|0.312 5-0.25|=0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解可取为0.312 5。
用二分法求方程x3-2x-5=0在区间（2，4）上的实数根时，取中点x1=3，则下一个有根区间是______．
正确答案
设函数f（x）=x3-2x-5，则
∵f（2）=-1＜0，f（3）=16＞0，f（4）=51＞0
∴下一个有根区间是（2，3）．
故答案为：（2，3）．
用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为______．
正确答案
令f（x）=x3-2x-1，
则f（1）=-2＜0，f（2）=3＞0，f（
由f（
故答案为（
用二分法求方程x3-x-5=0在区间[1，2]内的实根，取区间（1，2）的中点1.5，那么下一个有根区间是______．
正确答案
设函数f（x）=x3-x-5，则
∵f（1）=-5＜0，f（2）=1＞0，f（1.5）=-
∴下一个有根区间是（1.5，2）
故答案为（1.5，2）
研究函数f(x)=(
正确答案
∵0＜
∴y=(
1
2
)x、y=(
2
3
)x、y=(
5
6
)x 都是减函数，故 f(x)=(
1
2
)x+(
2
3
)x+(
5
6
)x在其定义域
内是减函数．
∵x=3时，3x+4x+5x=216，63=216，令 y（x）=3x+4x+5x-6x，
由y（x）的导数大于0知，y（x）是一个增函数，y（2）=50-36＞0，y（4）=962-1296＜0，
故 3x+4x+5x=6x 的解是 x=3．
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