- 函数的应用
- 共9606题
已知函数f（x）=ln（x+a）-x有且只有一个零点，其中a＞0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（-1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式
正确答案
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-a，+∞），
由f‘（x）=0，得x=1-a＞-a．
∵当-a＜x＜1-a时，f'（x）＞0；当x＞1-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（-a，1-a]上是增函数，在区间[1-a，+∞）上是减函数，
∴f（x）在x=1-a处取得最大值．
由题意知f（1-a）=-1+a=0，解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）-x，
当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2-1＜0，知k≥0不合题意．
当k＜0时，设g（x）=f（x）-kx2=ln（x+1）-x-kx2．
则
令g'（x）=0，得x1=0，
①若
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，
即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．
②若
∴g（x）在
于是，当取
故
综上，k的最大值为
（Ⅲ） 由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．
不妨设x1＞x2＞-1，则要证明
只需证明
即证
即证
设
化简得
设
∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（t）＞φ（1）=0．
即
故原不等式恒成立．
解析
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-a，+∞），
由f‘（x）=0，得x=1-a＞-a．
∵当-a＜x＜1-a时，f'（x）＞0；当x＞1-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（-a，1-a]上是增函数，在区间[1-a，+∞）上是减函数，
∴f（x）在x=1-a处取得最大值．
由题意知f（1-a）=-1+a=0，解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）-x，
当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2-1＜0，知k≥0不合题意．
当k＜0时，设g（x）=f（x）-kx2=ln（x+1）-x-kx2．
则
令g'（x）=0，得x1=0，
①若
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，
即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．
②若
∴g（x）在
于是，当取
故
综上，k的最大值为
（Ⅲ） 由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．
不妨设x1＞x2＞-1，则要证明
只需证明
即证
即证
设
化简得
设
∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（t）＞φ（1）=0．
即
故原不等式恒成立．
函数f（x）=lgx+x-2在下列哪个区间一定存在零点（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=lgx+x-2在（0，+∞）上单调递增，
f（1）=-1，f（2）=lg2＞0，
∴函数f（x）=lgx+x-2只有1个零点，在（1，2）内，
故选：B
函数f（x）=-|x-5|+2x-1的零点所在的区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=-|x-5|+2x-1，
∴f（0）=-|0-5|+2-1=-
f（1）=-|1-5|+20=-3＜0，
f（2）=-|2-5|+21=-1＜0，
f（3）=-|3-5|+22=2＞0，
f（4）=-|4-5|+23=7＞0．
∵f（2）•f（3）＜0，
∴函数f（x）=-|x-5|+2x-1的零点所在的区间是（2，3）．
故选C．
已知函数f（x）=x2-2ax+1在区间（0，1）和（1，3）上各有一个零点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：令y=f（x）=x2-2ax+1，
由y=f（x）=x2-2ax+1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）内，
所以
解得：a∈（1，
故实数a的取值范围为（1，
解析
解：令y=f（x）=x2-2ax+1，
由y=f（x）=x2-2ax+1的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）内，
所以
解得：a∈（1，
故实数a的取值范围为（1，
（2015•安徽二模）若函数f（x）=3|x-2|-m-2有唯一的零点，则直线mx+ky+3k-2=0恒过定点为（ ）
A（
B（-2，-3）
C（0，
D（-2，0）
正确答案
解析
解：由题意可得3|x-2|≥1，
要使函数f（x）=3|x-2|-m-2有唯一的零点，则m+2=1，
∴m=-1，
∴直线mx+ky+3k-2=0可化为直线-x-2+k（y+3）=0
∴-x-2=0，y+3=0，
∴x=-2，y=-3，
∴直线mx+ky+3k-2=0恒过定点（-2，-3）．
故选：B．
已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），且当x∈（-1，3]时，f（x）=
正确答案
解析
∴函数f（x）为周期为4的周期函数，
根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象
根据y=lg|x|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=10时lg10=1，
∴当x＞10时y=lgx此时与函数y=f（x）无交点，
结合图象可知有9个交点，
则函数g（x）=f（x）-lg|x|的零点个数为18，
故选：C
已知函数f（x）=logax+x-b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n=______．
正确答案
2
解析
解：设函数y=logax，m=-x+b
根据2＜a＜3＜b＜4，
对于函数y=logax 在x=2时，一定得到一个值小于1，
在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n=2，
故答案为：2
函数f（x）=（
A（0，
B（
C（
D（1，2）
正确答案
解析
解：∵f（x）=（
又∵f（
∴f（
由函数的零点判定定理可得，函数的零点所在的区间为（
故选B
（1）fmin（x）=______；
（2）函数f（x）=
正确答案
2
解析
解；（1）当A，P，F在同一直线上时，f（x）最小，
此时，AF=
故答案为：
（2）如图示：
当平行四边形AP1FP2的周长为
即AP1+P1F=AP2+P2F=
∴函数f（x）=
故答案为：2个．
若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．
正确答案
4
解析
解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴满足f（x+2）=f（x），
故函数的周期为2．
当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，
故当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x-1．
函数y=f（x）-log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．
在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：
显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，
故答案为：4．
对于实数a和b，定义运算“⊙”：a⊙b=
正确答案
（-∞，-1）∪（-
解析
则f（x）=（x2-1）⊙（x-x2）=
函数f（x）的图象（红色部分和直线y=c（蓝色部分）有2个交点．
如图：∵f（-
数形结合可得c＜-1，或-
故答案为：（-∞，-1）∪（-
若函数
A
B（1，+∞）
C
D
正确答案
解析
解：∵函数
即（a-1）（a-
故选D．
若函数f（x）=ax2-lnx在（0，1]上存在唯一零点，则实数a的取值范围是（ ）
A[0，2e]
B[0，
CC、（-∞，-1]
D（-∞，0]
正确答案
解析
设g（x）=ax2和m（x）=lnx，
若a=0，则g（x）和m（x）只有一个交点，满足条件，
若a＞0，当x∈（0，1]，g（x）＞0，m（x）≤0，此时两个函数没有交点，
若a＜0，作出函数g（x）=ax2和m（x）=lnx的图象，
此时g（x）和m（x）只有一个交点，满足条件，
综上a≤0，
故选：D
已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）-
A
B
C
D
正确答案
解析
解：y=f（x）-
先研究a≥0时的情况，如图，当a=0时，g（x）=
当a＞0时，y=
同时y轴左边满足g（-10）≤0时，左边产生6个交点．
这样共产生10个交点，即
同理，根据函数图象的对称性可知，当a＜0时，只需
综上，当
函数y=f（x）-
故选C
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：令f[f（kx）+1]+1=0得，
解得，f（kx）+1=0或f（kx）+1=
由f（kx）+1=0得，
即x=0或kx=
由f（kx）+1=
即ekx=1+
综上所述，x=0或kx=
故无论k为何值，均有3个解；
故选C．
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