- 函数的应用
- 共9606题
函数f（x）=4-4x-ex（e为自然对数的底）的零点所在的区间为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=4-4x-ex单调递减
又∵f（0）=3＞0，f（1）=-e＜0
由函数 的零点判断定理可知，函数f（x）的零点在区间（0，1）
故选B
利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
那么方程2x=x+3的一个根位于下列哪个区间（ ）
正确答案
解析
解：令f（x）=x+3-2x，则有 f（2.2）=5.2-4.6=0.6＞0，f（2.6）=5.6-6.06=0.46＜0，
∴f（2.2）•f（2.6）＜0，故函数 f（x）=x+3-2x 的零点所在的区间为（2.2，2.6），即方程2x=x+3的一个根所在的区间为（2.2，2.6），
故选D．
函数f（x）=x3-16x的某个零点所在的一个区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=x3-16x=x（x+4）（x-4）
则f（x）=0有三个根，分别为-4，0，4
则f（x）=x3-16x有三个零点分别为-4，0，4
故选B
已知函数f（x）=2sin（2x+
正确答案
[0，1）
解析
解：∵x∈[-
∴2x+
∴sin（2x+
令z=2x+
在同一直角坐标系中作出y=2sinz（z∈[0，
如图示：
由图象得：1≤a+1＜2，
∴0≤a＜1，
故答案为：[0，1）．
已知函数f（x）=x2+（2a-1）x+6+a2有两个零点m，n，且m＞2，n＞2，求实数a的取值范围．
正确答案
解：函数f（x）=x2+（2a-1）x+6+a2有两个零点m，n，且m＞2，n＞2，等价于方程的两个根都大于2，
即
解得a≤-5.75，
故实数m的取值范围为（-∞，-5.75]．
解析
解：函数f（x）=x2+（2a-1）x+6+a2有两个零点m，n，且m＞2，n＞2，等价于方程的两个根都大于2，
即
解得a≤-5.75，
故实数m的取值范围为（-∞，-5.75]．
已知函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R，且a0≠0）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f′（x）的所有零点中最大值与最小值之差为______．
正确答案
解析
解：设函数f（x）的四个零点构成公差为d的等差数列为：
t+3，t+1，t-1，t-3，公差d=2，
f（x）=（x-t-3）（x-t-1）（x-t+1）（x-t+3），
用平方差公式：
f（x）=[（x-t）2-1][（x-t）2-9]，
令g（x）=（x-t）2-1，h（x）=（x-t）2-9，
f′（x）=g′（x）h（x）+g（x）h′（x），
整理得：f′（x）=4（x-t）（x2-2tx+t2-5），
令f′（x）=0，解得：x=t-
∴零点的最大值与最小值的差是；2
故答案为：
已知连续不断函数f（x）=cosx-x，x∈（0，
（1）证明：函数f（x）在区间（0，
（2）现已知函数g（x），h（x）在（0，
求证：①x1+x2=
②判断x2与x3的大小，并证明你的结论．
正确答案
解：（1）先证明f（x）在区间（0，
由零点存在性定理知f（x）在区间（0，
再证明f（x）在（0，
设0＜x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（cosxx-x1）-（cosx2-x2）=（cosx1-cosx2）-（x1-x2）
由于y=cosx在（0，
所以cosx1-cosx2＞0又-（x1-x2）＞0
从而f（x1）＞f（x2），
即f（x）在（0，
故函数f（x）在（0，
（2）Ⅰ）因为x2是g（x）的零点，所以有sinx2+x2
将其变形为：cos（
从而有f（
又因为
在（0，
从而有
Ⅱ）判断x2＜x3，证明如下：由于h（0）=
由零点存在性定理和已知得0＜x3＜1，
从而有 0=x3sinx3+x3
所以有g（x2）＜g（x3），
又由已知g（x）在（0，
解析
解：（1）先证明f（x）在区间（0，
由零点存在性定理知f（x）在区间（0，
再证明f（x）在（0，
设0＜x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（cosxx-x1）-（cosx2-x2）=（cosx1-cosx2）-（x1-x2）
由于y=cosx在（0，
所以cosx1-cosx2＞0又-（x1-x2）＞0
从而f（x1）＞f（x2），
即f（x）在（0，
故函数f（x）在（0，
（2）Ⅰ）因为x2是g（x）的零点，所以有sinx2+x2
将其变形为：cos（
从而有f（
又因为
在（0，
从而有
Ⅱ）判断x2＜x3，证明如下：由于h（0）=
由零点存在性定理和已知得0＜x3＜1，
从而有 0=x3sinx3+x3
所以有g（x2）＜g（x3），
又由已知g（x）在（0，
已知函数f（x）=x2+（a2-1）x+（a-2）有两个零点，且一个大于1，另一个小于1，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解答：解：∵函数f（x）的两个零点一个大于1，一个小于1
∴f（1）＜0，
∴1+a2-1+a-2＜0
∴-2＜a＜1
∴实数a的取值范围是（-2，1）．
故选A
已知函数g（x）=
正确答案
解：由数g（x）=
即-|x2-1|=log2k有两个不同的实根，
画出y=-|x2-1|的图象：
由图得，log2k＜-1或log2k=0，
解得0＜k＜
故k的取值范围：{k|0＜k＜
解析
解：由数g（x）=
即-|x2-1|=log2k有两个不同的实根，
画出y=-|x2-1|的图象：
由图得，log2k＜-1或log2k=0，
解得0＜k＜
故k的取值范围：{k|0＜k＜
已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-x2-4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围是______．
正确答案
（2-
解析
解：∵f（x）=ex-1，在R上递增
∴f（a）＞-1则g（b）＞-1
∴-b2-4b-3＞-1即b2+4b+2＜0，解得2-
故答案为：（2-
在下列区间中，函数f（x）=3x-x2的零点所在区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵f（-1）=
∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=3x-x2的零点所在区间是（-1，0）
故选D．
已知x0是函数
正确答案
解析
解：函数
∵x0是函数
∴f（x0）=0，
∵0＜x1＜x0，
∴f（x1）＜f（x0）=0，
故选：D．
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）-|lgx|的零点个数为______．
正确答案
10
解析
解：函数y=f（x）-|lgx|的零点个数可转化为
f（x）与|lgx|的图象交点的个数，
作f（x）与|lgx|的图象如下，
共有10个交点，
故答案为：10．
方程log4x+x=7的解所在区间是（ ）
正确答案
解析
解：令函数f（x）=log4x+x-7，则函数f（x）是（0，+∞）上的单调增函数，且是连续函数，
∵f（5）＜0，f（6）＞0，故有 f（5）f（6）＜0，故函数f（x）=log4x+x-7的零点所在的区间为（5，6），
故方程log4x+x=7的解所在区间是（5，6），
故选C．
在下列区间中，函数f（x）=e-x-4x-3的零点所在的区间为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵连续函数f（x）=e-x-4x-3，f（-
f（-
故f（-
故选B．
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