- 函数的应用
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已知函数f（x）=x2+（1-k）x-k有两个零点，且其中的一个零点在（2，3）内，则实数k的取值范围是______．
正确答案
（2，3）
解析
解：∵函数f（x）=x2+（1-k）x-k有2个零点，且其中它的一个零点在（2，3）内，
∴△=（1-k）2+4k=（k+1）2＞0，且f（2）•f（3）＜0，
即k≠-1，且（6-3k）（12-4k）＜0，解得2＜k＜3，
故答案为：（2，3）．
若函数f（x）满足
A
B
C（0，1）
D
正确答案
解析
解：函数f（x）满足
∴x∈（-1，0）时，f（x）+1=
因为g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，
所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，
函数图象如图所示，由图象可得，当0＜m≤
故选 D．
已知方程lgx=3-x的解所在区间为（k，k+1）（k∈N*），则k=______．
正确答案
2
解析
解：构造函数f（x）=lgx-3+x，则
f（2）=lg2-1＜0，f（3）=lg3＞0
∴方程lgx=3-x的解所在区间为（2，3）
∴k=2
故答案为：2
已知实数m∈（0，3]，函数f（x）=x2+ax+b+
正确答案
解：因为1、2、3为y=f（x）-m的三个零点，且f（x）=x2+ax+b+
所以
解得a=-7，b=m+14，c=m-2，
因为实数m∈（0，3]，所以实数m-2∈（-2，1]，
则实数c的取值范围是（-2，1]．
解析
解：因为1、2、3为y=f（x）-m的三个零点，且f（x）=x2+ax+b+
所以
解得a=-7，b=m+14，c=m-2，
因为实数m∈（0，3]，所以实数m-2∈（-2，1]，
则实数c的取值范围是（-2，1]．
设函数
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数fn（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间
（Ⅲ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
正确答案
解析
解：（Ⅰ）当b＞0时，由函数
可得fn（x）′=nxn-1+b在（0，+∞）上大于零，故函数fn（x）在（0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，则函数fn（x）=xn+x-1，
再根据 
结合函数在（0，+∞）上是增函数，可得fn（x）在区间
（Ⅲ）由于n=2，f2（x）=x2+bx+c，它的对称轴为x=-
由于对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，
故当-
当-
当-1＜-
解得-6≤b≤2；结合0≤b＜2可得 0≤b＜2．
当 0＜-
解得-2≤b≤6；结合-2＜b＜0可得-2＜b＜0．
综上可得，-2≤b≤2，即b得范围为[-2，2]．
若函数f（x）=2x-1-a有零点，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=2x-1-a有零点
∴f（x）=2x-1-a=0有解
即a=2x-1＞0
故实数a的取值范围是（0，+∞）
故选D．
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：由f（a）f（b）f（c）＜0，可知有两种情况．
又若实数d是函数y=f（x）的一个零点可知：f（d）=0．
当f（a），f（b），f（c）中两正一负时，则有f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，这时，c＜b＜d＜a；
当f（a），f（b），f（c）中三负时，则有d＜c＜b＜a；
其中有可能成立的个数是：4．
故选D．
已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有1和3两个零点，且y=f（2-x）与y=f（7+x）都是偶函数，则函数y=f（x）在[-2015，2015]上的零点个数为（ ）
正确答案
解析
解：∵y=f（2-x）与y=f（7+x）都是偶函数，
∴f（2-x）=f（2+x），f （7+x）=f（7-x），即f（x）关于x=2和x=7对称．
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-x）=f（x）；
∵f（7-x）=f（7+x），∴f（4-x）=f（10+x），∴f（x）=f（10+x），
即10是函数f（x）的一个周期．
∵f（7-x）=f（7+x），函数f（x）在[4，7]上无根．∴函数f（x）在[7，10]上无根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有两根为1和3．
f（x）=0的根为10n+1或10n+3的形式．
∴0≤10n+1≤2015，解得0≤n≤201.4，共202个
∴0≤10n+3≤2015，解得0≤n≤201.2，共202个，
∴方程f（x）=0在闭区间[0，2013]上根的个数为404个，
同理可得，方程f（x）=0在区间[-2015，0）上根的个数为402个，
故方程f（x）=0在[-2015，2015]上的根的个数为806个，
故函数y=f（x）在[-2015，2015]上的零点个数为806个，
故选：C．
函数y=|log2x|-10-x的零点个数是______．
正确答案
2
解析
得|log2x|=10-x，
令f（x）=|log2x|，g（x）=10-x，
画出函数的图象，如图：
由图象得：f（x）与g（x）有2个交点，
∴方程|log2x|-10-x=0解的个数为2个，
故选答案为：2
已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则y=f（x）（ ）
正确答案
解析
解：根据零点存在性定理，若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，
则函数在区间（a，b）内有零点，但是有几个零点不确定，
∴函数在[a，b]上至少有一个零点
故选B
已知f（x）=
正确答案
解析
解：因为当x≥0时，f（x）=f（x-1），所以所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相当于在[-1，0）重复的周期函数，
x∈[-1，0）时，y=a+x2+2x=-1+a+（x+1）2，对称轴x=-1，顶点（-1，-1+a）
（1）如果a＞1，函数y=f（x）+x至多有2个不同的零点；
（2）如果a=1，则y有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点是原点；
（3）如果a＜1，则有一个零点在（-∞，-1），y轴右边有两个零点，
故实数a的取值范围是（-∞，1]．
故选A．
已知函数f（x）=xln（x-1）-a，下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：设g（x）=xln（x-1），则g′（x）=ln（x-1）+
∴g″（x）=
∴1＜x＜2，g″（x）＜0，x＞2，g″（x）＞0，
∴g′（x）≥g′（2）=2＞0，
∴函数在（1，+∞）上单调递增，
∵g（2）=0，
∴当a＞0时，f（x）有零点x0，且x0∈（2，+∞），
故选：B．
函数f（x）=log2（x+1）-
正确答案
解析
解：∵f（1）=
∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），
故选：B．
若函数
正确答案
（-∞，-1]∪（0，+∞）
解析
可得偶函数y=
数形结合可得，m＞0，或 m≤-1，
故答案为 （-∞，-1]∪（0，+∞）．
函数
正确答案
解析
所以y=（
又因为y=（
函数图象如图，由图得，当0＜m＜1时，两函数有两个交点
故选 C
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