- 函数的应用
- 共9606题
若函数
正确答案
（0，1）∪（2，+∞）
解析
解：令
令y=
在同一坐标系中画出它们的图象：如图，根据图象知，两曲线没有公共点．
由图象可得当半圆的半径
当半圆的半径等于
故当圆的半径
由此求得a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）．
故选C．
设函数g（x）=ax2+bx+c（a＞0），且g（1）=-
（1）求证：函数g（x）有两个零点
（2）设m，n是函数g（x）的两个零点，求|m-n|的取值范围
（3）讨论函数g（x）在区间（0，2）内的零点个数．
正确答案
解：（1）证明：（法一）由题意，∵a＞0，
∴
∴结合函数图象可知函数g（x）有两个零点；
（法二）由
∴
∴函数g（x）有两个零点；
（2）∵m，n是函数g（x）的两个零点，
∴ax2+bx+c=0的两根为m，n；
∴
∴
∴|m-n|的范围为
（3）∵
①当
②当
③当
因为
解析
解：（1）证明：（法一）由题意，∵a＞0，
∴
∴结合函数图象可知函数g（x）有两个零点；
（法二）由
∴
∴函数g（x）有两个零点；
（2）∵m，n是函数g（x）的两个零点，
∴ax2+bx+c=0的两根为m，n；
∴
∴
∴|m-n|的范围为
（3）∵
①当
②当
③当
因为
若函数y=f（x）在区间[0，4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f（x）=0在（0，4）内仅有一个实数根，则f（0）•f（4）的值（ ）
正确答案
解析
解；满足题中要求的函数y=f（x）图象可以有以下两种情况
由这两个图形得，f（0）f（4）＜0，
由于f（x）定义在区间[0，4]上，即有f（0）=0或f（4）=0．
故选D．
函数f（x）=（x2-1）cos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=（x+1）（x-1）cos2x，
令f（x）=0，
∴（x-1）cos2x=0，
∴x=1是一个零点，
∵x∈[0，2π]，
∴x分别为
∴函数f（x）的零点有5个，
故选：B．
已知函数f（x）=mx2-2（3m-1）x+9m-1在区间（1，2）中仅有一个零点，求实数m的取值范围．
正确答案
解：m=0时，f（x）=2x-1=0，∴x=
m≠0时，若△=0，则m=
△≠0，f（1）f（2）=（m-6m+2+9m-1）（4m-12m+4+9m-1）＜0，∴-3＜m＜-
综上，实数m的取值范围是-3＜m＜-
解析
解：m=0时，f（x）=2x-1=0，∴x=
m≠0时，若△=0，则m=
△≠0，f（1）f（2）=（m-6m+2+9m-1）（4m-12m+4+9m-1）＜0，∴-3＜m＜-
综上，实数m的取值范围是-3＜m＜-
函数
正确答案
解析
解：由于函数
f（9）＜0，f（10）＞0，故函数
故选A．
函数f（x）=xlog2x-3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是______．
正确答案
2
解析
解：f′（x）=ln2+log2x，令f′（x）=0得，x=2-ln2，且0＜2-ln2＜1；
∴x∈（0，2-ln2）时，f′（x）＜0，x∈（2-ln2，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，2-ln2）上单调递减，在（2-ln2，+∞）上单调递增；
又x趋向于0时，log2x＜0，x＞0，∴xlog2x＜0，即函数f（x）在（0，2-ln2）内不存在零点；
又∵f（2）=2-3＜0，f（3）=3log23-3＞0；
∴f（x）在区间（2，3）内存在一个零点，且在（2-ln2，+∞）内只有一个零点；
由已知f（x）零点所在区间为（k，k+1），（k∈Z）；
∴k=2．
故答案为：2．
已知函数f（x）=
正确答案
4
解析
解：∵f（x）=
∴f′（x）=x2+ax+b，
且x1，x2是方程x2+ax+b=0的两根，
不妨设x2＞x1，
由（f（x））2+af（x）+b=0，
则有两个f（x）使等式成立，
x2=f（x1），x2＞x1=f（x2），
如图所示：
有4个交点，
故答案为：4．
已知函数φ（x）=x2+ax+b，f（x）=
（1）当f（1）=f（4），函数F（x）=f（x）-k有且仅有一个零点x0，且x0＞0时，求k的值；
（2）求证：存在x0∈[-1，1]，使|φ（x0）|≥|a|．
正确答案
解：（1）f（x）=
∵f（1）=f（4），
∴
解得，b=4；
故f（x）=
当x＞0时，
∵函数F（x）=f（x）-k有且仅有一个零点x0，且x0＞0，
∴k=4；
（2）证明：由题意，a=
∴x0∈[-1，1]，|φ（x0）|≥|
∴存在x0∈[-1，1]，使|φ（x0）|≥|a|．
解析
解：（1）f（x）=
∵f（1）=f（4），
∴
解得，b=4；
故f（x）=
当x＞0时，
∵函数F（x）=f（x）-k有且仅有一个零点x0，且x0＞0，
∴k=4；
（2）证明：由题意，a=
∴x0∈[-1，1]，|φ（x0）|≥|
∴存在x0∈[-1，1]，使|φ（x0）|≥|a|．
定义在[0，+∞）的函数f（x）=ex-bx有且只有一个零点，则实数b=______．
正确答案
e
解析
解：（法一）易知x=0不是函数f（x）=ex-bx的零点，
故函数f（x）=ex-bx有且只有一个零点可化为
y=
作y=
故由图象知，y=
在（1，+∞）上是增函数，
故b=
（法二）y′=
故y=
在（1，+∞）上是增函数，
从而可得b=
故答案为：e．
已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由x2-2x-3=0，解得x=3，或-1．
∵方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，
因此3∈[0，m]．
∴m≥3．
∴m的取值范围是[3，+∞）．
故选A．
函数f（x）=-x3-3x+5的零点所在的大致区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=-x3-3x+5是单调递减函数，
又∵f（1）=-13-3×1+5=1＞0，f（2）=-23-3×2+5=-9＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（1，2）上，
故必存在零点的区间是 （1，2），
故选：C．
已知f（x）=x3-3x，则函数h（x）=f[f（x）]-1的零点个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），由f′（x）=0得：x=1或x=-1，
∴极值点为x=-1，1；
∴f（-1）=2为极大值，f（1）=-2为极小值；
∴f（x）=0有3个不同的实根；
由f（-2）=-2＜0，f（2）=2＞0
知三个实根x1，x2，x3分别位于区间（-2，-1），（-1，1），（1，2）
∴h（x）的零点相当于：
f（x）=x1，
f（x）=x2，
f（x）=x3；
同样由上分析，以上每个方程都有3个不同的实根，
所以h（x）共有9个不同的零点．
故选：D．
己知函数f（x）=|x3+a|，a∈R在[-1，1]上的最大值为M（a），若函数g（x）=M（x）-|x2+t|有4个零点，则实数t的取值范围为．（ ）
A（1，
B（-∞，-1）
C（-∞，-1）∪（1，
D（-∞，-1）∪（1，2）
正确答案
解析
当a＞0时，函数在[-1，1]上的最大值为M（a）=f（1）=|1+a|=a+1，
当a＜0时，函数在[-1，1]上的最大值为M（a）=f（-1）=|-1+a|=1-a，
即M（a）=
∴M（x）=
由g（x）=M（x）-|x2+t|=0得M（x）=|x2+t|，
设函数M（x），m（x）=|x2+t|，
作出两个函数的图象如图：
①若t≤0，要使g（x）=M（x）-|x2+t|有4个零点，
则两个图象的交点个数有4个，此时满足m（0）＞M（0），
即|t|＞1，解得t＜-1．
②若t＞0，则m（x）=|x2+t|=x2+t，
当抛物线过点（0，1）时，t=1．
当抛物线与直线相切时，当x＞0时，
由
由判别式△=1-4（t-1）=5-4t=0，
解得t=
要使g（x）=M（x）-|x2+t|有4个零点，
则两个图象的交点个数有4个，此时满足
1
综上t＜-1或1
故选：C．
若函数f（x）=
正确答案
解析
解：由题意得：x≤0时，
f（x）=
令g（x）=
h（x）=kx2，
当x＞0时，
f（x）=lnx，
函数f（x）过（1，0）点，有一个零点，
∴只需g（x）和h（x）有一个交点即可，
如图示：
∴k的范围是：（-∞，0]．
故选：B．
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