- 函数的应用
- 共9606题
已知函数f（x）=
正确答案
解：由f（x）=0，得x-1=-
分别画出它们的图象如图，其中抛物线的顶点坐标为（0，2），与x轴的交点为（-2，0）、（2，0），g（x）与m（x）的图象有3个交点，
从而函数f（x）有3个零点．
由f（x）的解析式知x≠0，f（x）的图象在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是连续不断的曲线，
且f（-3）=
即f（-3）f（-2）＜0，f（
∴3个零点分别在区间（-3，-2），（
解析
解：由f（x）=0，得x-1=-
分别画出它们的图象如图，其中抛物线的顶点坐标为（0，2），与x轴的交点为（-2，0）、（2，0），g（x）与m（x）的图象有3个交点，
从而函数f（x）有3个零点．
由f（x）的解析式知x≠0，f（x）的图象在（-∞，0）和（0，+∞）上分别是连续不断的曲线，
且f（-3）=
即f（-3）f（-2）＜0，f（
∴3个零点分别在区间（-3，-2），（
函数f（x）=
正确答案
2
解析
解：由题意得，
解得x=1或x=0，
所以函数f（x）的零点个数是2，
故答案为：2．
若函数f（x）对任意x∈R都满足f（2+x）=f（2-x）且f（x）=0有5个实数根，则这5个实根的和为（ ）
正确答案
解析
解：由f（2+x）=f（2-x）得函数f（x）关于x=2对称，
若f（x）=0有5个实数根，则必有一个根为x=2，另外四个根关于x=2对称，
即对称的两个根之和为4，
则这5个实根的和4+4+2=10，
故选：C．
（2015秋•洛阳期末）已知函数f（x）=a（x2-x-1）e-x+m，（x∈R，a＞0）．
（1）当a=1时，f（x）有三个零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有f（x2）-1＜f（x1）＜f（x2）+1成立，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）当a=1时，f（x）=（x2-x-1）e-x+m
f′（x）=-x（x-3）e-x，
令f′（x）=0，
∵a＞0，∴x1=0，x2=3，
f′（x）＞0，得0＜x＜3； f′（x）＜0，得x＜0或x＞3，
f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；
∴函数f（x）极大值f（3）=5e-3，极小值为f（0）=-1，
∵f（x）有三个零点，
∴-1＜-m＜5e-3，
∴-5e-3＜m＜1；
（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，
∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=5ae-3，也是最大值，
又∵f（0）=-a＜0，f（4）=11ae-4＞0，
∴f（0）＜f（4），
∴f（x）在[0，4]上的最小值为-a，
∴要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有f（x2）-1＜f（x1）＜f（x2）+1，即有|f（x1）-f（x2）|＜1成立，
只需|f（3）-f（0）|＜1即可，∴5ae-3+a＜1，
∵a＞0，∴0＜a＜
解析
解：（1）当a=1时，f（x）=（x2-x-1）e-x+m
f′（x）=-x（x-3）e-x，
令f′（x）=0，
∵a＞0，∴x1=0，x2=3，
f′（x）＞0，得0＜x＜3； f′（x）＜0，得x＜0或x＞3，
f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；
∴函数f（x）极大值f（3）=5e-3，极小值为f（0）=-1，
∵f（x）有三个零点，
∴-1＜-m＜5e-3，
∴-5e-3＜m＜1；
（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，
∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=5ae-3，也是最大值，
又∵f（0）=-a＜0，f（4）=11ae-4＞0，
∴f（0）＜f（4），
∴f（x）在[0，4]上的最小值为-a，
∴要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有f（x2）-1＜f（x1）＜f（x2）+1，即有|f（x1）-f（x2）|＜1成立，
只需|f（3）-f（0）|＜1即可，∴5ae-3+a＜1，
∵a＞0，∴0＜a＜
定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x；记函数g（x）=f（x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A[1，2）
B
C
D
正确答案
解析
解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2-x
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．
由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，
如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）
所以可得k的范围为
故选C．
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：如图，
也就是函数
若k=0，则y=k|x|=0，函数
若k＜0，则当x＞0时，y=kx与
当k＞0时，y=kx与
再由
由图可知，当k＞1时y=-kx与
∴使函数f（x）=
故选：C．
函数f（x）=sinxsin（
正确答案
解析
解：f（x）=
令y=
画出函数的图象，如图示：
图象有1个交点，
故函数f（x）有1个零点，
故选：B．
若函数y=ax2-x-1只有一个零点，求a的取值范围．
正确答案
解：∵函数y=ax2-x-1仅有一个零点
∴1°当a=0时，y=-x-1有一个零点x=-1，
∴a=0符合题意；
2°当a≠0时，y=ax2-x-1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（-1）2+4a=0，解得a=-
综上a=0或a=-
解析
解：∵函数y=ax2-x-1仅有一个零点
∴1°当a=0时，y=-x-1有一个零点x=-1，
∴a=0符合题意；
2°当a≠0时，y=ax2-x-1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（-1）2+4a=0，解得a=-
综上a=0或a=-
已知函数f（x）=x2+（m-2）x-5-m有两个小于2的零点，则实数m的取值范围（ ）
正确答案
解析
解：函数f（x）=x2+（m-2）x-5-m有两个小于2的零点，等价于方程的两个根都小于2，
即
解得m＞5，
故选：A．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且ac＜0，则函数零点有______个．
正确答案
2
解析
解：∵ac＜0，∴△=b2-4ac＞0，
∴对应方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，
故所求二次函数与x轴有两个交点，函数零点有2个．
故答案为：2．
若函数f（x）=mx2+（m-1）x+m有零点，则实数m的取值范围______．
正确答案
解析
解：①若m=0，则f（x）=-x，
它的零点为0∉，
故m=0符合题意，
②若m≠0，
函数f（x）=mx2+（m-1）x+m有零点，
必有△=（m-1）2-4m2≥0⇒-1≤m≤
综上实数m的取值范围为：
故答案为：
函数f（x）=3x|
正确答案
2
解析
得|
分别作出函数y=|
由图象可知两个函数的交点个数为2个，
即函数f（x）=3x|
故答案为：2．
若函数f（x）=ax+1-2a在[-1，1]上存在x0，使f（x0）=0（x0≠±1），则a的取值范围是______．
正确答案
（
解析
解：由函数零点的判定定理可得f（-1）f（1）＜0，即 （1-3a）（1-a）＜0，解得 
故答案为 
若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，可得x≠0，
两边同时除以x2，得x2+
设y=x+
分离变量得a=
当y=2时，a=-
∴a≤-
故选B．
（1）解关于x的方程：log5（x+1）-log
（2）关于x的方程（
正确答案
解：（1）原方程化为 log5（x+1）+log5（x-3）=log55，从而（x+1）（x-3）=5
解得 x=-2或x=4∵原方程必须满足
∴x=-2不合题意，故方程的解为x=4
（2）设方程的负根为x0（x0＜0），则有
∴a满足条件
解得
解析
解：（1）原方程化为 log5（x+1）+log5（x-3）=log55，从而（x+1）（x-3）=5
解得 x=-2或x=4∵原方程必须满足
∴x=-2不合题意，故方程的解为x=4
（2）设方程的负根为x0（x0＜0），则有
∴a满足条件
解得
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