- 函数的应用
- 共9606题
已知函数f（x）=（
正确答案
解析
解：令函数f（x）=
∴
令g（x）=
如图示：
∴当0＜x＜x0时，g（x）＞h（x），
∴当0＜x＜x0时，函数f（x）恒为正值．
故选：A．
函数y=log2x+4-3x零点所在的大致区间是（ ）
正确答案
解析
解：函数y=log2x+4-3x的零点，即方程log2x+4-3x=0的根．
移项，得log2x=3x-4
记f（x）=log2x，g（x）=3x-4
∵f（1）=0，g（1）=-1得f（1）＞g（1）；并且f（2）=1，g（2）=2得f（1）＜g（1）
∴函数y=log2x+4-3x，当x=1时y＞0且当x=2时y＜0
由函数零点存在性定理，可得在区间（1，2）上函数y=log2x+4-3x必定有零点
故选：A
已知函数f（x），若在[a，b]上有f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在（a，b）内必有零点______．
正确答案
×
解析
解：由于不知道函数f（x）在[a，b]上是否连续，故由f（a）f（b）＜0，
不能推出y=f（x）在（a，b）内必有零点．
如 f（x）=
故答案为×．
函数f（x）=x3-4的零点所在的区间为（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x3-4，
经验证f（1）=13-4=-3＜0，f（2）=23-4=4＞0，
∴函数f（x）在区间（1，2）上必有零点，
故选C．
设t∈R，若函数f（x）=x2+tx+1在区间（1，2）上有一个零点，则化简
正确答案
-2t
解析
解：若函数f（x）=x2+tx+1只有一个零点，则有判别式△=t2-4=0，解得 t=±2，不满足题意．
故有 
故 
故答案为-2t．
若函数f（x）=
正确答案
[
解析
解：由题意，
f（x）=
=
∵4-（x-5）2≥0 且
∴3≤x≤7，且2≤x≤5，
即f（x）定义域是[3，5]，
f′（x）=
=
当3≤x≤
当
令P=4（x-5）2（7x-x2-10），
Q=（2x-7）2（10x-x2-21），
则P-Q=-（7x-29）（x+1），
故当
当
故f（x）在[3，
而f（
故若函数f（x）=
则（
即a的范围为[
故答案为：[
已知函数F（x）=
（1）若f（x）=lnx+ax2，求a的取值范围
（2）设x0是f（x）的零点，m，n∈（0，x0），求证，
正确答案
解：（1）F（x）=
F′（x）=
故使函数F（x）=
F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
即1-lnx+ax2≥0在（0，+∞）上恒成立；
即a≥
令g（x）=
故x∈（0，
x∈（
故g（x）=
故gmax（x）=g（
故a≥
（2）证明：∵F（x）=
又∵x0是f（x）的零点；
∴当x∈（0，x0）时，f（x）＜0；
∵
∴
∴f（m）+f（n）＜f（m+n）；
又∵f（m）+f（n）＜0；
∴
解析
解：（1）F（x）=
F′（x）=
故使函数F（x）=
F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
即1-lnx+ax2≥0在（0，+∞）上恒成立；
即a≥
令g（x）=
故x∈（0，
x∈（
故g（x）=
故gmax（x）=g（
故a≥
（2）证明：∵F（x）=
又∵x0是f（x）的零点；
∴当x∈（0，x0）时，f（x）＜0；
∵
∴
∴f（m）+f（n）＜f（m+n）；
又∵f（m）+f（n）＜0；
∴
已知x1，x2分别是函数f（x）=log2x-（
正确答案
解析
解：∵已知x1，x2分别是函数f（x）=log2x-（
∴log2x1=
则由图象可知，0＜x1＜1，x2＞1
则两式相减得
即0＜x1x2＜1，
故选：B
函数f（x）=lgx-
正确答案
解析
由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程lgx-
令y1=lgx，y2=
由图得，两个函数图象有1个交点，
故方程有1个根，即对应函数有1个零点
故选：B
已知函数f（x）=x2-4x，判断方程f（x）=0在区间[-1，0]内是否有实数解，并说明理由．
正确答案
解：∵
∵函数f（x）=x2-4x的图象是连续曲线，∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点，即方程f（x）=0在区间[-1，0]内有实数解．
解析
解：∵
∵函数f（x）=x2-4x的图象是连续曲线，∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点，即方程f（x）=0在区间[-1，0]内有实数解．
已知函数f（x）=a+log2x，且f（a）=1，则函数f（x）的零点为______．
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=a+log2x，且f（a）=1，
∴f（a）=a+log2a=1，解得a=1，
∴f（x）=1+log2x，
由f（x）=1+log2x=0，即log2x=-1，解得x=
故答案为：
已知函数f（x）=
A（-∞，0）
B[2
C（0，+∞）
D（2
正确答案
解析
解：如图示：
由题意可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有3个不同的交点，
当直线g（x）=kx和y=2x2+1（x＞0）相切时，设切点A（x0，2
则切线的斜率k=
此时，k=2
则实数k的取值范围是（2
故选：D．
函数f（x）=lnx-
正确答案
解析
解：∵f（x）=lnx-
∵f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-
∴f（2）f（3）＜0，
在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，
故选：B
方程lgx=3-x的解所在区间为（ ）
正确答案
解析
∵lg2＜1=lg10，
∴x0＞2，
从而判定x0∈（2，3），
答案为（2，3）．
故选C．
函数f（x）=3x+
正确答案
（-2，-1）
解析
解：易知函数f（x）=3x+
且函数f（x）=3x+
而f（-1）=
f（-2）=
故f（-1）f（-2）＜0；
故函数f（x）=3x+
故答案为：（-2，-1）．
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