- 函数的应用
- 共9606题
若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．
正确答案
（2，+∞）
解析
解：不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，令f（x）=x2-bx+1，
则有f（1）=2-b＜0，b＞2，
故答案为 （2，+∞）．
已知函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，则（ ）
正确答案
解析
解：因为函数f（x）=ax2+bx+c，且a＞b＞c，所以二次函数的开口方向向上，并且c＜0，
f（0）=c＜0，又a+b+c=0，所以f（1）=a+b+c=0，由零点判定定理，可知，∀x∈（0，1），都有f（x）＜0．
故选B．
已知函数f （x）在区间[a，b]上单调，且f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）的图象与x轴在区间[a，b]内（ ）
正确答案
解析
解：∵f（a）f（b）＜0，
∴f（a）与f（b）异号，
即：f（a）＞0，f（b）＜0；
或者f（a）＜0，f（b）＞0
显然，在[a，b]内，必有一点，使得f（x）=0．
又f（x）在区间[a，b]上单调，所以，这样的点只有一个
故选：B．
下列四个命题：
①f（a）f（b）＜0 为函数f（x）在区间（a，b）内存在零点的必要不充分条件；
②从总体中抽取的样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xa，ya），若记
③设点P是△ABC所在平面内的一点，且
④若空间两点A（1，2，-1），B（2，0，m）的距离为
其中真命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：f（a）f（b）＜0 为函数f（x）在区间（a，b）内存在零点的必要不充分条件；
即当存在零点时这两个值的乘积一定小于0，反过来不一定成立，需要加上函数是一个连续函数，故①正确，
回归直线
点P是△ABC所在平面内的一点，且
若空间两点A（1，2，-1），B（2，0，m）的距离为
综上可知有两个命题是正确的．
故选B．
若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，则a的取值范围是______．
正确答案
（-12，0）
解析
解：关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，
等价于函数f（x）=3x2-5x+a的图象与x轴的交点一个（-2，0）内，另一个在（1，3）内，
又函数函数f（x）=3x2-5x+a的图象是开口向上的抛物线，要满足题意只需
故答案为：（-12，0）
已知函数f（x）=|x2-5x+4|，且方程f（x）=mx有三个不相等的实数根，则m=______ 且三个实根的和是______．
正确答案
1
8
解析
解：方程f（x）=mx有三个不相等的实数根即函数f（x）=|x2-5x+4|与函数y=mx有三个不同的交点，
作函数f（x）=|x2-5x+4|与函数y=mx的图象如下，
结合图象可知方程x2-5x+4=-mx仅有一个解；
故△=（m-5）2-16=0；
故m=1或m=9（舍去）；
故m=1；
由x2-5x+4=x可化为x2-6x+4=0，
故x1+x2=6；
由由x2-5x+4=-x可化为x2-4x+4=0；
故x=2；
故三个实根的和是6+2=8；
故答案为：1，8．
若直线y=2与曲线y=x2-|x|+a有两个交点，则a的取值范围是______．
正确答案
{a|a＜2或a=
解析
观图可知，a的取值必须满足{a|a＜2或a=
故答案为{a|a＜2或a=
若函数f（x）=cosx+2|cosx|-m在x∈[0，2π]上仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围为______．
正确答案
（1，3）∪{0}
解析
设g（x）=cosx+2|cosx|，
则g（x）=cosx+2|cosx|=
在坐标系中画出函数g（x）图象：
由其图象可知当直线y=m，m∈（1，3）∪{0}时，
g（x）=cosx+2|cosx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．
故答案为：（1，3）∪{0}
若函数f（x）=x2-2（1-a2）x-a在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A（0，
B（-1，-
C（-1，1）
D（-
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x2-2（1-a2）x-a的图象的对称轴为
x=1-a2≤1；
故若函数f（x）=x2-2（1-a2）x-a在区间（1，3）内有零点，
则f（1）•f（3）＜0；
故（1-2（1-a2）-a）（9-2（1-a2）3-a）＜0；
即（2a2-a-1）（6a2-a+3）＜0；
即（a-1）（2a+1）＜0；
故-
故选D．
对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0且f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内（ ）
正确答案
解析
解：由二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2
故选C
如果函数y=|x|-2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围为______．
正确答案
{2}∪（4，+∞）
解析
当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=2
∴OC=
当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，
综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．
故答案为：{2}∪（4，+∞）．
已知f（x）=log4（2x+3-x2）．
（1）求f（x）定义域
（2）求函数f（x）单调递增区间；
（3）若f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）∵2x+3-x2＞0，
∴-1＜x＜3；
故f（x）的定义域为（-1，3）；
（2）令u=2x+3-x2，则y=log4u；
∵y=log4u是增函数，
∴f（x）=log4（2x+3-x2）的单调递增区间是（-1，1）；
（3）∵f（x）=m有两个不同的实数根，
又∵f（x）=log4（2x+3-x2）的单调递增区间是[-1，1]，单调递减区间是[1，3]；
∴f（x）min=f（1）=1；
∴m的取值范围是{m|m＜1}．
解析
解：（1）∵2x+3-x2＞0，
∴-1＜x＜3；
故f（x）的定义域为（-1，3）；
（2）令u=2x+3-x2，则y=log4u；
∵y=log4u是增函数，
∴f（x）=log4（2x+3-x2）的单调递增区间是（-1，1）；
（3）∵f（x）=m有两个不同的实数根，
又∵f（x）=log4（2x+3-x2）的单调递增区间是[-1，1]，单调递减区间是[1，3]；
∴f（x）min=f（1）=1；
∴m的取值范围是{m|m＜1}．
方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根（ ）
正确答案
解析
解：设函数f（x）=2x+x，其对应的函数值如下表：
由于f（-1）•f（0）＜0，所以方程2x+x=0在（-1，0）内有实数根，
故选D．
函数f（x）=x-4+log2x的零点所在的区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵连续函数f（x）=log2x+x-4在（0，+∞）上单调递增
∵f（2）=-1＜0，f（3）=log23-1＞0
∴f（x）=log2x+x-4的零点所在的区间为（2，3）
故答案为 C
函数f（x）=3x+x-2的零点所在的一个区间是（ ）
正确答案
解析
解：易知函数f（x）=3x+x-2在R上单调递增且连续，
且f（0）=1+0-2=-1＜0，
f（1）=3+1-2=2＞0；
故函数f（x）=3x+x-2的零点所在的一个区间是（0，1）；
故选B．
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