- 函数的应用
- 共9606题
若关于x的实系数方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．
（1）求区域S的面积；
（2）设z=2a-b，求z的取值范围．
正确答案
解：（1）设f（x）=x2+ax+b，
∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，3）内，
∴可得
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，0），B（-4，3），C（-1，0），
，即为点（a，b）对应的区域的面积．
S△ABC=
（2）z=2a-b，
a=-1，b=0，z=-2，
a=-4，b=3，z=-11，
∴-11≤z≤-2，
解析
解：（1）设f（x）=x2+ax+b，
∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，3）内，
∴可得
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，0），B（-4，3），C（-1，0），
，即为点（a，b）对应的区域的面积．
S△ABC=
（2）z=2a-b，
a=-1，b=0，z=-2，
a=-4，b=3，z=-11，
∴-11≤z≤-2，
已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），若f（x）=x没有实根，试比较f（f（x））与x的大小．
正确答案
解：∵f（x）=ax2+bx+c（a＞0）开口向上，
又∵f（x）=x没有实根，
∴f（x）＞x在R上恒成立，
∴f（f（x））＞f（x），
∴f（f（x））＞x．
解析
解：∵f（x）=ax2+bx+c（a＞0）开口向上，
又∵f（x）=x没有实根，
∴f（x）＞x在R上恒成立，
∴f（f（x））＞f（x），
∴f（f（x））＞x．
已知方程x+
正确答案
解：方程x+
∵x＞0，
∴x+
∴-m≥2e，
∴m≤-2e．
解析
解：方程x+
∵x＞0，
∴x+
∴-m≥2e，
∴m≤-2e．
已知f（x）=3x2-2x+3，g（x）=a•ex，若存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x），求a的取值范围．
正确答案
解：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）⇔存在x∈（0，2]，3x2-2x+3=a•ex，
变形为
h′（x）=
令h′（x）=0，解得x=1或
列表如下：
由表格可知：
当x=1时，h（x）取得极小值，h（1）=，又h（2）=，h（1）＜h（2），∴当x=1时，函数h（x）取得最小值．当x=时，h（x）取得极大值，h（）=，又h（0）=3，h（）＜h（0），∴函数h（x）＜3．
综上可得：函数h（x）的取值范围是：．
解析
解：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）⇔存在x∈（0，2]，3x2-2x+3=a•ex，
变形为
h′（x）=
令h′（x）=0，解得x=1或
列表如下：
由表格可知：
当x=1时，h（x）取得极小值，h（1）=，又h（2）=，h（1）＜h（2），∴当x=1时，函数h（x）取得最小值．当x=时，h（x）取得极大值，h（）=，又h（0）=3，h（）＜h（0），∴函数h（x）＜3．
综上可得：函数h（x）的取值范围是：．
函数f（x）=log
正确答案
解析
解：由题意得，
方程
则
当且仅当
解得x=-1时取等号，
所以a的取值范围为[1，+∞）．
故选：B
设f0（x）=|x-1|-10，fn（x）=|fn-1（x）|-（n+1）（n∈N*），则函数f20（x）的零点之和为______．
正确答案
2
解析
解：∵f0（x）=|x-1|-10=
∴f1（x）的图象
根据对称性得出零点的和为2×2=4，
f1（x）=|f0（x）|-2
根据对称性得出f1（x）的零点的和为2×2=4，
∵f20（x）=|f20（x）|-21，
∴图象关于x=1对称，利用折点的数据可得出只有2个零点，关于x=1对称，
∴函数f20（x）的零点之和为2
已知函数f（x）=3x-8的零点所在区间为[m，m+1]（m∈N），则m=______．
正确答案
1
解析
解：根据函数f（x）=3x-8 在R上是增函数，且f（1）=-5＜0，f（2）=1＞0，f（1）f（2）＜0，
可得函数在区间（1，2）上有唯一零点．
再根据函数f（x）=3x-8的零点所在区间为[m，m+1]（m∈N），可得m=1，
故答案为 1．
已知函数
正确答案
解析
函数f（t）=
由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，
且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：
由于当t=-1时，f（t）=8，此时，t=-1对应的x值只有一个x=-1，不满足条件，故a的取值范围是 （8，9]，
故选C．
已知函数f （x）=3ax-2a+1在区间（-1，1）内存在x0使f （x0）=0，则实数a的取值范围是 ______．
正确答案
（-∞，-1）U（
解析
解：令f （x）=3ax-2a+1=0得到 x=
所以根据题意有即-1＜
当a＞0时，解上述不等式得a＞
当a＜0时，解上述不等式得a＜-1
所以a的取值范围为（-∞，-1）U（
故答案为：（-∞，-1）U（
已知函数
A[0，
B
C{0}
D{0，
正确答案
解析
解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=a有三个不同的交点，如图所示：
故实数a的取值范围是，{0，
故选D．
已知奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）=
（Ⅰ）求f（x）在x∈（0，+∞）上的单调区间与极值点；
（Ⅱ）若方程ex=-x3+2x2+ax+3在（0，+∞）上有两个不相同实根，求a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）x＞0时，-x＜0，则f（-x）=
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=
∴f′（x）=
∴f（x）在x∈（0，+∞）上的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1），极小值点是1；
（Ⅱ）方程ex=-x3+2x2+ax+3在（0，+∞）上有两个不相同实根，等价于函数y=
函数y=-x2+2x+a+3的最大值为a+4，由（Ⅰ）知，函数的极小值为e，
∴a+4＞e，
∴a＞e-4．
解析
解：（Ⅰ）x＞0时，-x＜0，则f（-x）=
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=
∴f′（x）=
∴f（x）在x∈（0，+∞）上的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1），极小值点是1；
（Ⅱ）方程ex=-x3+2x2+ax+3在（0，+∞）上有两个不相同实根，等价于函数y=
函数y=-x2+2x+a+3的最大值为a+4，由（Ⅰ）知，函数的极小值为e，
∴a+4＞e，
∴a＞e-4．
已知函数f（x）=1-
正确答案
1
解析
解：由m＜
1-
由f（m）=g（n）可化为
1-
故n=
令1-
则m=t-
则y=n-m=et-t+
故y′=et+t-1在（-∞，1）上是增函数，
且y′=0时，t=0；
故y=n-m=et-t+
故n-m的最小值为1；
故答案为：1．
函数f（x）=
正确答案
（
解析
解：方程f（x）=mx-
函数f（x）=
作函数f（x）=
由题意，C（0，-
故kBC =
当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=
设切点A的坐标为（x1，lnx1），
则
解得，x1=
故kAC =
结合图象可得，
实数m的取值范围是（
故答案为：（
若函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上无实数根，则函数g（x）=（a-
正确答案
解析
解：函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上无实数根
则f（-1）•f（1）＞0
即（-5a+1）•（a+1）＞0
解得-1＜a＜
则a-
则函数g（x）=（a-
∵y′=3x2-3，则当x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，y=x3-3x+4为增函数
则函数g（x）=（a-
故选D
已知函数f（x）=x2+3（m+1）x+n的零点是1和2，求函数y=logn（mx+1）的零点．
正确答案
解：∵f（x）=x2+3（m+1）x+n的零点是1和2
∴f（1）=12+3（m+1）+n=0，即3m+n+4=0 ①，
f（2）=22+6（m+1）+n=0，即6m+n+10=0 ②，
解得：m=-2，n=2
故函数y=logn（mx+1）的解析式可化为：
y=log2（-2x+1）
令y=log2（-2x+1）=0，则x=0
∴函数y=logn（mx+1）的零点是0
解析
解：∵f（x）=x2+3（m+1）x+n的零点是1和2
∴f（1）=12+3（m+1）+n=0，即3m+n+4=0 ①，
f（2）=22+6（m+1）+n=0，即6m+n+10=0 ②，
解得：m=-2，n=2
故函数y=logn（mx+1）的解析式可化为：
y=log2（-2x+1）
令y=log2（-2x+1）=0，则x=0
∴函数y=logn（mx+1）的零点是0
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