- 函数的应用
- 共9606题
已知关于x方程|x2+2x-3|=a（a∈R）有两个实数解，则a的取值范围是______．
正确答案
a=0，或a＞4，
解析
解：函数y=|x2+2x-3|的图象，由函数y=x2+2x-3的图象纵向对折变换得到，
如下图所示：
若关于x方程|x2+2x-3|=a（a∈R）有两个实数解，
则a=0，或a＞4，
故答案为：a=0，或a＞4
三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些区间有根：A、（-2，-1） B、（-1，0） C、（0，1）D、（1，2） E、（2，3）．答：______．
正确答案
A，B，D
解析
解：∵x3+x2-2x-1=0，令f（x）=x3+x2-2x-1
∵f（-2）=-8+4+4-1=-1，f（-1）=-1+1+2-1=1
∴f（-2）f（-1）＜0，∴函数f（x）在（-2，-1）有零点
∵f（0）=-1∴f（-1）f（0）＜0
∴函数f（x）在（-1，0）有零点
∵f（1）=1+1-2-1=-1∴f（0）f（1）＞0
∴函数f（x）在（0，1）不一定有零点
∵f（2）=8+4-4-1=7∴f（1）f（2）＜0
∴函数f（x）在（1，2）有零点
∵f（3）=27+9-6-1
∴f（2）f（3）＞0
∴函数f（x）在（2，3）不一定有零点
故答案为：A，B，D．
已知函数f（x）=2a2x-2-7ax-1+3（a＞1）有一个零点是2，求实数a的值和函数的其余零点．
正确答案
解：把x=2代入f（x）=0可得 2a2-7a+3=0，解得a=3，或a=
∴函数f（x）=2•32x-2-7•3x-1+3．
令 2•32x-2-7•3x-1+3=0，可得3x-1=3，或 3x-1=
可得x=2，或x=1-log32，
故函数的其余的零点为 x=2或x=1-log32．
解析
解：把x=2代入f（x）=0可得 2a2-7a+3=0，解得a=3，或a=
∴函数f（x）=2•32x-2-7•3x-1+3．
令 2•32x-2-7•3x-1+3=0，可得3x-1=3，或 3x-1=
可得x=2，或x=1-log32，
故函数的其余的零点为 x=2或x=1-log32．
若函数f（x）在[a，b]上连续，且有f（a）•f（b）＞0．则函数f（x）在[a，b]上（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）在[a，b]上的单调性没有说明，
∴函数f（x）在[a，b]上的零点情况不确定．
故选D．
已知函数f（x）=（1-a）x2-ax-1
（1）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）如果函数的一个零点为2，求a的值．
正确答案
解：（1）当1-a=0，即a=1时，f（x）=-x-1，
函数有且只有一个零点-1；
当1-a≠0，即a≠1时，
△=a2+4（1-a）=0，
解得，a=2；
故a=1或a=2；
（2）由题意得，
f（2）=4（1-a）-2a-1=0，
解得，a=
解析
解：（1）当1-a=0，即a=1时，f（x）=-x-1，
函数有且只有一个零点-1；
当1-a≠0，即a≠1时，
△=a2+4（1-a）=0，
解得，a=2；
故a=1或a=2；
（2）由题意得，
f（2）=4（1-a）-2a-1=0，
解得，a=
已知函数f（x）=2x2-（k2+k+1）x+15，g（x）=k2x-k，其中k∈R．
（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数
正确答案
解：（1）由题意可得 p（x）=f（x）+g（x）=2x2-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零点．
∴△=（k2+2k+1）-8（15-k）≥0，解得 k≤-17，或 k≥7．
若p（x）在（1，4）上有唯一零点，则 p（1）p（4）=（16-2k）（43-5k）＜0 ①，
或
解①得 8＜k＜
若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有 
综上可得，实数k的取值范围为[7，
（2）函数
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=k2x-k∈[-k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=2x2-（k2+k+1）x+15∈（15，+∞）．
记A=[-k，+∞），记 B=（15，+∞）．
①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）=q（x1），则x1＜0，且A⊊B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②当x2＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，要使q（x2）=q（x1），则x1＞0，且B⊊A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
综上可得，k=-15满足条件．
解析
解：（1）由题意可得 p（x）=f（x）+g（x）=2x2-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零点．
∴△=（k2+2k+1）-8（15-k）≥0，解得 k≤-17，或 k≥7．
若p（x）在（1，4）上有唯一零点，则 p（1）p（4）=（16-2k）（43-5k）＜0 ①，
或
解①得 8＜k＜
若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有
综上可得，实数k的取值范围为[7，
（2）函数
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=k2x-k∈[-k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=2x2-（k2+k+1）x+15∈（15，+∞）．
记A=[-k，+∞），记 B=（15，+∞）．
①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）=q（x1），则x1＜0，且A⊊B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②当x2＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，要使q（x2）=q（x1），则x1＞0，且B⊊A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
综上可得，k=-15满足条件．
若方程x2-4|x|+3=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为______．
正确答案
-1＜a＜3
解析
由图象可知：当-1＜a＜3时，方程x2-4|x|+3=a有四个不同的解．
故答案为-1＜a＜3．
已知方程
正确答案
解析
解：∵方程
∴方程
∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，作出两个函数的图象，
函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），
在（π，2π）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根．
当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B处的切线为y-sinb=f′（b）（x-b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=-bcosb，
∴
∴
故选：B．
函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，2）内的零点个数是（ ）
正确答案
解析
解：令f（x）=0，
∴2x=2-x3，
令g（x）=2x，h（x）=2-x3，
如图示：
∴函数g（x）和函数h（x）有一个交点，
∴函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，2）内的零点个数是1个，
故选：B．
若函数f（x）=|x-3|-logax+1无零点，则a的取值范围为______．
正确答案
（3，+∞）
解析
解：假若f（x）=|x-3|-logax+1无零点，
即|x-3|+1=logax无解．
即函数y=|x-3|+1与y=logax没有公共点．
在同一坐标系内作出这两个函数的图象，
可知只需0＜loga3＜1．
所以，a的取值范围为（3，+∞）．
已知函数f（x）=2mx3-3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg2m+lg2n的最小值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：f′（x）=6mx2-6nx=6x（mx-n），
∴由f′（x）=0得x=0或x=
∵f（x）=2mx3-3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，
∴f（
两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=
∴lg2m+lg2n=lg2m+（
∴当lgm=-
故选D．
若函数f（x）=
正确答案
解析
解；当x＜0时，
f（x）=
当x≥0时，
f（x）=ex-bx，
令g（x）=ex，h（x）=bx，
将问题转化为g（x）与h（x）的交点问题，
当b＜0时，作出图象，发现不满足条件；
当b≥0时，作出图象，发现当且仅当两直线相切时有一个交点，
设切点为（x，y），则
∴b=e．
故选：D．
若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（ ）
正确答案
解析
解：令f（x）=lgx+x-5，由于f（4）=lg4-1＜0，f（5）=lg5＞0，即f（4）•f（5）＜0，
且f（x） 是连续函数，在（0，+∞）上单调递增，
故函数f（x）在（4，5）上有唯一零点．
若x0是方程lgx+x=5的解，则x0是函数f（x）的零点，故 x0∈（4，5），
故选D．
设函数y=x3与y=22-x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）
正确答案
解析
解：设f（x）=x3-22-x，则f（0）=-4＜0，f（1）=-1＜0，f（2）=7＞0
∴f（1）f（2）＜0
∴x0所在的区间是（1，2）
故选B．
函数f（x）=|sinx|-
正确答案
4
解析
即为函数y=|sinx|和y=
作出两个函数的图象，易得图象有4个交点．
故选答案为：4
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