- 函数的应用
- 共9606题
若不等式x2+（a-3）x+1≥0对一切x∈
正确答案
解析
解：不等式x2+（a-3）x+1≥0对一切x∈
令f（x）=-x-
∴函数f（x）在x∈（0，
∴当x=
∴a的最小值为
故答案为：
若二次函数f（x）=x2+（a-1）x+a有两个正零点，则a的取值范围为______．
正确答案
0
解析
解：∵二次函数f（x）=x2+（a-1）x+a有两个正零点，
∴
求解得出
即0
故答案为：0
若方程x3-x+1=0在区间（a，b）上有一根，其中a，b是整数，且b-a=1，则a+b=______．
正确答案
-3
解析
解：令f（x）=x3-x+1，
方程x3-x+1=0在区间（a，b）上有一根，即函数f（x）在区间（a，b）内有一零点，
把x=-2，0，1，2，代入验证，
由零点存在定理知，若f（a）•f（b）＜0，则在（a，b）内存在零点，
计算知f（-2）＜0，f（-1）＞0，
所以零点在（-2，-1）内，又b-a=1，
∴a=-2，b=-1，
则a+b=-3，
故答案为：-3．
已知函数f（x）=x2ln|x|若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由题意可得，函数f（x）=x2ln|x|的图象和直线y=kx-1有交点，
由于函数f（x）满足f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数，
函数f（x）的图象如图．
先求当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值．
当k＞0时，f‘（x）=x•（2lnx+1）
设切点为P（a，f（a）），
则切线方程为y-f（a）=f'（a）（x-a），
将x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a2lna+a2-1=0（*）．
显然，a=1满足（*），
而当0＜a＜1时，a2lna+a2-1＜0，
当a＞1时，a2lna+a2-1＞0，
∴（*）有唯一解a=1，此时k=f'（1）=1．
再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f（x）的图象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故选A．
（2015秋•和平区期中）已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]
∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减
∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数
∴a≥2
∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]max=f（1），[f（x）]min=f（a）
∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max-[f（x）]min
∴要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4则必有[f（x）]max-[f（x）]min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a2-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解
∴2a=
令g（x）=x
∴2
∴2
∴
解析
解：（1）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]
∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减
∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数
∴a≥2
∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]max=f（1），[f（x）]min=f（a）
∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max-[f（x）]min
∴要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4则必有[f（x）]max-[f（x）]min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a2-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解
∴2a=
令g（x）=x
∴2
∴2
∴
函数f（x）=
A
B
C
D
第Ⅱ卷
正确答案
解析
等价于函数y=f（x）与y=x+a图象恰有两个不同的交点，
由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意，
∵a为直线的截距，由图易得上面直线的截距为2，
由
∴a的取值范围为：a∈
故选：D
函数f（x）=ax+2a+1在（-1，1）内有零点，则实数a的范围是______．
正确答案
解析
解：a=0时，不成立；
函数f（x）=ax+2a+1在（-1，1）内有零点，
当a≠0时有f（-1）f（1）＜0，
即（a+1）（3a+1）＜0
解得
故答案为：
函数f（x）=lnx-
A（
B（1，2）
C（2，e）
D（e，3）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=lnx-
∴f（2）•f（e）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=lnx-
故选C．
若关于x的方程x2-2tx+t=0的两根都在区间（-1，3）内，则实数t的取值范围是______．
正确答案
[1，
解析
解：由题意，
解得，t∈[1，
故实数t的取值范围是[1，
故答案为：[1，
若函数f（x）=log2x+x-k（k∈Z*）在区间（2，3）上有零点，则k=______．
正确答案
4
解析
解：∵y=log2x在（2，3）上单调递增，y=x-k在（2，3）上单调递增，
∴函数f（x）=log2x+x-k在区间（2，3）上单调递增，
∵f（x）=log2x+x-k
∴f（2）=log22+2-k=3-k，f（3）=log23+3-k，
根据零点的存在性定理，
∴f（2）f（3）＜0，即（3-k）（log23+3-k）＜0，
∴3＜k＜log224，
∵4＜log224＜5，且k∈Z*，
∴k=4．
故答案为：4．
已知函数f（x），对任意的实数x满足f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-1，3）时，
正确答案
解析
解：∵对任意的实数x满足f（x-2）=f（x+2），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4
∵当x∈[-1，3）时，
∴k＞0时，函数f（x）的图象如图所示
则
即（
∴16-12（
∵k＞0，∴
同理k＜0时，
故答案为：
方程x2+x=
正确答案
解析
由图可知，两个函数的图象只有一个交点，且横坐标为正，
即方程程x2+x=
故选D．
已知函数f（x）=x-ln（x+1）-1，函数零点的个数是______．
正确答案
2个
解析
解：f（x）=（x-1）-ln（x+1），
令g（x）=x-1，h（x）=ln（x+1），
如图示：
函数g（x）和函数h（x）有两交点，
∴函数f（x）有两个零点，
故答案为：2个．
解分式方程：
正确答案
解：原方程变成：
∴解得
解析
解：原方程变成：
∴解得
已知函数f（x）=
正确答案
解析
∴函数g（x）=f（x）-log4x的零点个数即为函数f（x）与函数y=log4x的图象的交点个数，
在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=log4x的图象，如图所示，
有图象知函数y=f（x）-log4 x上有3个零点．
故答案为：3个．
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