- 函数的应用
- 共9606题
关于x的方程x2-mx+16=0在x∈[1，10]上有实根，则实数m的取值范围是（ ）
A[8，17]
B（1，8]
C（-∞，-8]∪[8，+∞）
D[8，
正确答案
解析
解：由题意，△=m2-64≥0，
故m≥8或m≤-8；
①若m≤-8，则y=x2-mx+16在[1，10]上单调递增，
又∵1-m+16＞0，
故方程x2-mx+16=0在[1，10]上没有实根；
②若8≤m≤20，
则1-m+16≥0或100-10m+16≥0，
解得，8≤m≤17，
③若m＞20，则y=x2-mx+16在[1，10]上单调递减，
又∵1-m+16＜0，
故方程x2-mx+16=0在[1，10]上没有实根；
故选A．
若方程ln（x-1）+x-1=0的根为x=m，则（ ）
正确答案
解析
解：设f（x）=ln（x-1）+x-1，则函数f（x）在（1，+∞）上为增函数
∵f（2）=1＞0，x→1时，f（x）→-∞
∴函数f（x）的零点在（1，2）上
即方程ln（x-1）+x-1=0的根在（1，2）上
∴1＜m＜2
故选 D
二次函数y=a2x2+ax在（0，1）上有零点，则实数a的取值范围是______．
正确答案
a＜-1
解析
解：由a2x2+ax=0得
ax（ax+1）=0
所以x=0或x=
因为函数在（0，1）上有零点
所以
解得a＜-1．
若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为______．
正确答案
解析
解：关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根x≠0，
两边除以x2，得x2+
设y=x+
（1）变为 y2-2+ay+a=0，有根
分离变量得a=
在y≥2，或y≤-2时，a是减函数，
当y=2时，a=-
∴a≤-
则实数a的取值范围为 
故答案为：
已知当a∈R时，|2x+3|=ax+b恒有实数解．求b的取值范围．
正确答案
解：记f（x）=丨2x+3丨，g（x）=ax+b，
如下图：
f（x）的图象为一个角，开口向上，
将b看做常数，g（x）的图象为过定点A（0，b）的直线，对于任意a∈R，
其表示为所有过点A的直线的集合，
当b≥3，该定点在f（x）的图象上或其内，
则任意过该点的直线都与f（x）的图象有交点，
即此时原方程恒有实数解；
当b＜3，该定点在角外，则恒有a=2时过该点的直线与f（x）的图象的一边平行，无交点，即无实数解；
综上所述，b的取值范围是[3，+∞）．
解析
解：记f（x）=丨2x+3丨，g（x）=ax+b，
如下图：
f（x）的图象为一个角，开口向上，
将b看做常数，g（x）的图象为过定点A（0，b）的直线，对于任意a∈R，
其表示为所有过点A的直线的集合，
当b≥3，该定点在f（x）的图象上或其内，
则任意过该点的直线都与f（x）的图象有交点，
即此时原方程恒有实数解；
当b＜3，该定点在角外，则恒有a=2时过该点的直线与f（x）的图象的一边平行，无交点，即无实数解；
综上所述，b的取值范围是[3，+∞）．
设函数f（x）=
正确答案
（-1，6）
解析
当x≥0时，f（x）=x2-6x+6≥-3，
且x∈[0，3]时，f（x）∈[-3，6]，
x∈[3，+∞）时，f（x）∈[-3，+∞），
∵存在互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），
∴不妨设x1＜0，x2，x3＞0；
则x2+x3=6，-3＜x1+4＜4，
解得，-7＜x1＜0，
故x1+x2+x3的取值范围为（-1，6）；
故答案为：（-1，6）．
方程3x+x=3的解所在的区间为（ ）
正确答案
解析
解：令函数f（x）=3x+x-3，由于f（x）是连续函数，f（0）=-2，f（1）=1，f（0）f（1）＜0，
故函数f（x） 的零点所在的区间为（0，1）．
故方程3x+x=3的解所在的区间为（0，1），
故选D．
方程log3x=x-4的一个实根所在的区间是（ ）
正确答案
解析
解：令f（x）=log3x-x+4，由于f（5）=log35-1＞0，f（6）=log36-2＜0，
故函数f（x）的一个零点所在的区间为（5，6），
即方程log3x=x-4的一个实根所在的区间是（5，6），
故选：C．
已知关于x的方程ax2-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有实数根，求实数a的取值范围．
正确答案
解：若a=0，则方程等价为x=2，在区间[0，1]上没有实数根，不满足条件．故a≠0．
若方程ax2-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上只有一个实数根，
设f（x）=ax2-（a+1）x+2，
则满足①
由①得
由②得
若方程ax2-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有两个实数根，
则
若a＜0，∵f（0）=2＞0，
∴若x的方程ax2-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有实数根，
则f（1）≤0，
即a-a-1+2≤0，
即1≤0，此时不等式不成立，
综上a≥3+2
解析
解：若a=0，则方程等价为x=2，在区间[0，1]上没有实数根，不满足条件．故a≠0．
若方程ax2-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上只有一个实数根，
设f（x）=ax2-（a+1）x+2，
则满足①
由①得
由②得
若方程ax2-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有两个实数根，
则
若a＜0，∵f（0）=2＞0，
∴若x的方程ax2-（a+1）x+2=0在区间[0，1]上有实数根，
则f（1）≤0，
即a-a-1+2≤0，
即1≤0，此时不等式不成立，
综上a≥3+2
设函数f（x）=x+sinx-2，g（x）=ex+lnx-2，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x+sinx-2的导数f′（x）=1+cosx≥0，∴函数f（x）在R上是增函数．
再由f（1）=1+sin1-2＜0，f（2）=sin2＞0，f（a）=0，
∴1＜a＜2．
∵g（x）=ex+lnx-2在（0，+∞）上是增函数，g（
∴
∴f（b）＜0，且 g（a）＞0，
故选：B．
已知关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（-∞，1]
解析
解：若a=0，则x=-
若a＜0，方程ax2+2x+1=0一正一负两个根，故成立；
若a＞0；则只需使△=4-4a≥0即可，
故0＜a≤1；
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．
若函数f（x）=|4x-x2|+2a-8至少有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
∴y=|4x-x2|与y=8-2a的图象至少有3个交点，
作y=|4x-x2|的图象如右图，
则可得，
0＜8-2a≤4，
解得，a∈[2，3），
故选C．
已知e是自然对数的底，若函数f（x）=|ex-bx|有且只有一个零点，则实数b的取值范围是______．
正确答案
（-∞，0）∪{ e}
解析
解：f（x）=0即方程ex-bx=0有且只有一个解．
因为x=0不满足方程，所以方程同解于b=
令h（x）=
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，+∞）；
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，+∞）；
所以当x∈（0，+∞）时，方程b=
当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），
从而方程b=
综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}．
函数f（x）=
正确答案
a＜-1
解析
∴g（x）=
根据图形得出：-a＞1，
∴a＜-1
故答案为：a＜-1．
若关于x的方程（2-|x|-2）2=a+2有实根，则实数a的取值范围是______．
正确答案
[-1，2）
解析
解：2-|x|∈（0，1]
∴2-|x|-2∈（-2，-1]
∴（2-|x|-2）2∈[1，4）
∴关于x的方程（2-|x|-2）2=a+2有实根⇔1≤a+2＜4
即a∈[-1，2）
故答案为[-1，2）
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