函数的应用_章节学习

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题型：单选题

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单选题

下列函数中在[1，2]内有零点的是（　　）

Af（x）=3x2-4x+5

Bf（x）=x3-5x-5

Cf（x）=lnx-3x-6

Df（x）=ex+3x-6

正确答案

D

解析

解：A：f（1）=4＞0，f（2）=9＞0且函数f（x）在[1，2]单调递增，故不存在零点

B：f（1）=-9＜0，f（2）=-7＜0，且函数在[1，]单调递减，在上单调递增，而f（）＜0，则函数在[1，2]没有零点

C：f（1）=-9＜0，f（2）=ln2-12＜0，且函数在[1，2]单调递减，故C没有零点

D：f（x）=ex+3x-6，f（1）=e-3＜0，f（2）=e2＞0，函数在[1，2]上至少有一个零点

故选：D

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题型：填空题

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填空题

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，则实数a=______．

正确答案

解析

解：∵二次函数f（x）的二次项系数为a，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），

∴f（x）+2x＞0即a（x-1）（x-3）＞0，且a＜0

由此可得：f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a

∴方程f（x）+6a=0即ax2-（2+4a）x+9a=0，此方程有两个相等的实数根

可得：△=（2+4a）2-4×a×9a=0，解之得a=-（a=1舍去）

故答案为：-

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题型：填空题

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填空题

若关于x的方程1+=2logx2有两解，则实数a的取值范围是______．

正确答案

{a|a＞100或0＜a＜}

解析

解：∵1+=2logx2，

∴+=2，

∴x2-2xlga+4=0，

∴△=4lg2a-16＞0，

解得：a＞100或0＜a＜，

故答案为：{a|a＞100或0＜a＜}．

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题型：填空题

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填空题

若函数f（x）=ax-2（a＞0且a≠1），且f（lga）=，则a=______．

正确答案

10

解析

解：因为函数f（x）=ax-2（a＞0且a≠1），

所以f（lga）=alga-2=，

两边取以10为底的对数，得：（lga-2）lga=-1，

解得：lga=1，

∴a=10．

故答案为：10．

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题型：填空题

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填空题

若函数f（x）=x2-x-1，x≤1，则方程f（x）-x=0的根为______．

正确答案

1-

解析

解：方程f（x）-x=0的根，

∴x2-2x-1=0，解得

∵x≤1，

∴方程f（x）-x=0的根为1-．

故答案为：1-

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题型：单选题

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单选题

方程log2x+x=2的解所在的区间为（　　）

A（0.5，1）

B（1，1.5）

C（1.5，2）

D（2，2.5）

正确答案

B

解析

解：设f（x）=log2x+x-2，在（0，+∞）上单调递增．

∵f（1）

=0+1-2=-1＜0，

f（1.5）=log21.5-0.5=log21.5-log2＞0

∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内

∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•安徽月考）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＜0）有两个零点，其中一个零点在（-2，-1）内，则的取值范围是______．

正确答案

（-1，2）

解析

解：由题意得，f（-1）•f（-2）＜0，

∴（a-b+1）（4a-2b+1）＜0．且a＜0．

∴

视a，b为变量，作出可行域如图．

的几何意义是区域内的点（a，b）与（1，0）连线的斜率，

由图可得∈（-1，2）．

故答案为：（-1，2）．

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题型：填空题

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填空题

y=的图象与y=k恰有两个交点，求k的范围．

正确答案

解析

解：函数y==，它的图象如图所示：

再根据y=的图象与直线y=k恰有两个交点，而y=k表示一条平行于x轴或在x轴上的直线，

可得-2＜k＜0．

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题型：填空题

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填空题

如果函数y=x2+2x+m+3至多有一个零点，则m的取值范围是______．

正确答案

[-2，+∞）

解析

解：∵函数y=x2+2x+m+3至多有一个零点

∴△=4-4（m+3）≤0，

解得m≥-2，

∴m的范围是：[-2，+∞）．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有2个不同的实根，则实数k的取值范围是______．

正确答案

（2，+∞）

解析

解：由题意可得，函数f（x）=

的图象和直线y=k有2个不同的交点，

如图所示：

由函数f（x）的解析式可得f（1）=f（-1）=2，

数形结合可得 k＞2，

故答案为（2，+∞）．

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题型：单选题

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单选题

若使得方程-x-m=0有实数解，则实数m的取值范围为（　　）

A-4≤m≤4

B-4≤m≤4

C-4≤m≤4

D4≤m≤4

正确答案

B

解析

解：-x-m=0可化为

=x+m，即问题转化为y=与y=x+m有公共点

做出函数图象：

容易算出当直线y=x+m与半圆相切时m=4，当直线过（4，0）点时m=-4．

故m的范围是．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x3-x2++．证明：存在x0∈（0，），使f（x0）=x0．

正确答案

证明：令g（x）=f（x）-x．

∵g（0）=，g（）=f（）-=-，

∴g（0）•g（）＜0．

又函数g（x）在[0，]上连续，

所以存在x0∈（0，），使g（x0）=0．

即f（x0）=x0．

解析

证明：令g（x）=f（x）-x．

∵g（0）=，g（）=f（）-=-，

∴g（0）•g（）＜0．

又函数g（x）在[0，]上连续，

所以存在x0∈（0，），使g（x0）=0．

即f（x0）=x0．

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题型：单选题

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单选题

若函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值个数为（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

解：∵函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，

又f（x）=x3-ax=x（x2-a）=0，令f（x）=0，

∴x=0或x=±，

函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上

∴≤10∴a≤100

∵f‘（x）═3x2-a，令f（x）′=0，

解得x=±，

∴当x＞或x＜-时，f（x）′＞0，为增函数；

当-＜x＜时，f（x）′＜0，为减函数；

∴当x=-时，有极大值，f（-）=-a×（）=≤，

∵＜1000，f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性f（x）=x3-ax（a＞0）

知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x3-ax=1000，可得

此时有a=，由于x为大于10的整数，由上知≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，

当x=14时，有=196-＞100

故可得a的值有三个，

应选C．

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题型：填空题

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填空题

设函数，则其零点所在区间为 ______．

正确答案

（1，2）

解析

解：函数的零点问题可转化为函数y=x3和y=的图象的交点问题

如图

因为两函数图象的交点在（1，2）之间，所以函数的零点所在区间为（1，2）

故答案为：（1，2）

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题型：单选题

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单选题

设x0是方程lnx+x-5=0的根，则x0在下列哪个区间内（　　）

A（1，2）

B（2，3）

C（3，4）

D（4，5）

正确答案

C

解析

解：由方程lnx+x=5，可设函数f（x）=lnx+x-5，

则f（2）=ln2+2-5=ln2-3＜0，f（3）=ln3+3-5=ln3-2=ln3-lne2＜0，

f（4）=ln4+4-5=ln4-1＞0，

∴根据根的存在性定理可知，函数在区间（3，4）内存在函数零点，即方程的根x0在（3，4）内．

故选C．

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