- 函数的应用
- 共9606题
若函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一个根为xo，且
正确答案
解析
解：设x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，
∴f（-x）=-lgx-x+3，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）=lgx+x-3，
∵f（2）=lg2+2-3＜0，f（3）=lg3+3-3＞0，
∴函数有零点在（2，3）上
∵f（x）=0有一个根为x0，且
∴n=2
故选B．
已知增函数f（x）=x3+bx+c，x∈[-1，1]，且
正确答案
1个
解析
解：∵函数f（x）=x3+bx+c是增函数，
∴函数f（x）=x3+bx+c至多有一个零点，
又∵
∴f（x）在（-
故f（x）的零点的个数为1个，
故答案为：1个．
函数
正确答案
解析
解：∵函数y=
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
又f（1）=
∴f（1）f（2）＜0．
∴函数
故选A．
设函数f（x）=x2+（m-1）x+1在区间[0，2]上有两个零点，则实数m的取值范围是______．
正确答案
解析
解：当f（x）在[0，2]上有两个零点时，
此时方程x2+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有两个不相等的实根，
则
解得
实数m的取值范围
故答案为：
已知直线y=mx与函数
正确答案
（
解析
解：作出f（x）的图象：
当m≤0时，直线y=mx和函数f（x）的图象只有一个交点；
当m＞0时，直线y=mx和函数y=2-
∴直线y=mx和函数y=
∴
故答案：（
（2015秋•百色月考）设x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个实数根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0，求证：方程
正确答案
证明：设f（x）=
∵
∴
∴
∵x1≠x2，∴a≠0．又x1≠0，x2≠0，
∴-
故方程f（x）=0在x1与x2之间有实数根．
若在x1与x2之间有两个实数根，则必有f（x1）f（x2）＞0，矛盾，
故方程
解析
证明：设f（x）=
∵
∴
∴
∵x1≠x2，∴a≠0．又x1≠0，x2≠0，
∴-
故方程f（x）=0在x1与x2之间有实数根．
若在x1与x2之间有两个实数根，则必有f（x1）f（x2）＞0，矛盾，
故方程
函数f（x）=x2-2x零点个数为（ ）
正确答案
解析
解：函数f（x）=x2-2x零点个数可化为
函数y=x2与y=2x的图象的交点个数，
作函数y=x2与y=2x的图象如下，
有三个交点，
故选C．
已知函数f（x）=1+x-
正确答案
解析
解：∵f（x）=1+x-
=（1-x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012
当x=-1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，
当x≠-1时，f′（x）=（1-x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012
=（1-x）•
=
∴f（x）=1+x-
又f（0）=1，f（-1）＜0，
∴f（x）=1+x-
由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，
∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零点．
∵g（x）=1-x+
∴g′（x）=（-1+x）+（-x2+x3）+…-x2012
=-[（1-x）+（x2-x3）+…+x2012]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减；
又g（1）＞0，
n≥2时，g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，
由1＜x-3＜2得：4＜x＜5，
∴g（x-3）在（4，5）上有唯一零点．
∵函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），
∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x-3）的零点．
∴F（x）的零点区间为（-4，-3）∪（4，5）．
又b，a∈Z，
∴（b-a）min=5-（-4）=9．
故选C．
已知函数f（x）=x2-2alnx，（a＞0），令g（x）=f（x）-2ax，若g（x）有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x2-2alnx，（a＞0），
令g（x）=f（x）-2ax=x2-2ax-2alnx=0，
∵g（x）有两个零点
∴x2-2ax=2alnx两侧的图象有两个交点，
即y1=x2-2ax，y2=2alnx有两个交点，
二次函数的对称轴是x=a，过原点，
当对数型函数所过的与横轴的交点在二次函数与横轴交点的左边，
即1＜2a，
所以a＞
且对称轴越大，有两个交点，
故选A．
函数f（x）=lgx+x的零点所在的区间是（ ）
A（-10，-
B（
C（1，10）
D（0，
正确答案
解析
解：函数f（x）=lgx+x的定义域为（0，+∞），
且在定义域（0，+∞）上连续；
而f（
故函数f（x）=lgx+x的零点所在的区间是（
故选B．
已知函数f（x）=2x2+ax-1．
（Ⅰ）若函数是偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数在（-∞，1）是减函数，求a的取值范围
（Ⅲ）若函数有两个零点，其中一个在（-1，1）上，另一个在（1，2）上，求a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）若函数是偶函数，则由f（-x）=f（x）可得 2x2 -ax-1=2x2+ax-1，求得a=0．
（Ⅱ）若函数在（-∞，1）是减函数，则有-
（Ⅲ）函数f（x）=2x2+ax-1有两个零点，其中一个在（-1，1）上，另一个在（1，2）上，则由二次函数的图象和性质可得
即 
解析
解：（Ⅰ）若函数是偶函数，则由f（-x）=f（x）可得 2x2 -ax-1=2x2+ax-1，求得a=0．
（Ⅱ）若函数在（-∞，1）是减函数，则有-
（Ⅲ）函数f（x）=2x2+ax-1有两个零点，其中一个在（-1，1）上，另一个在（1，2）上，则由二次函数的图象和性质可得
即
已知函数f（x）=
正确答案
（0，1]
解析
如图所示：
故实数k的取值范围是（0，1]，
故答案为（0，1]．
函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（ ）
A[1，2]
B[
C
D
正确答案
解析
解：∵连续函数f（x）=lnx+2x-6，∴f（
∴f（
故选D．
设α，β（α＜β）分别是二次方程ax2+bx+c=0和ax2-bx-c=0的非零根，求证：函数f（x）=
正确答案
解：由题意可知：aα2+bα+c=0，aβ2-bβ-c=0
bα+c=-aα2，bβ+c=aβ2，f（α）=
f（β）=
∴f（α）f（β）＜0，即函数f（x）=
解析
解：由题意可知：aα2+bα+c=0，aβ2-bβ-c=0
bα+c=-aα2，bβ+c=aβ2，f（α）=
f（β）=
∴f（α）f（β）＜0，即函数f（x）=
设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ex-2，则f（x）的零点个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点
当x＞0时，令f（x）=ex-2=0，
解得x=ln2，所以函数f（x）有一个零点，
又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．
故选D．
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