- 函数的应用
- 共9606题
函数
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由于幂函数
则f（
故f（1）f（2）＜0，
根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（1，2），
故答案为：B
若函数f（x）=2lgx-lg（x-1）-lga有两个零点，则a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：令f（x）=0，
得：lg
∴x2-a（x-1）=0（x＞1）有2个根，
即函数g（x）=x2-a（x-1）与x轴有2个交点，（x＞1）
∴
故选：D．
已知函数f（x）=x2+mx+n有两个零点-1与3
（1）求出函数f（x）的解析式，并指出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若g（x）=f（|x|）对任意x1，x2∈[t，t+1]，且x1≠x2，都有
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=x2+mx+n有两个零点-1与3，∴
∴f（x）=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴函数的增区间为[1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|）=x2-2|x|-4=
对任意x1，x2∈[t，t+1]，且x1≠x2，都有
∴区间[t，t+1]在函数g（x）的增区间内，∴t≥1，或 
解得t≥1，或t=-1．
解析
解：（1）∵函数f（x）=x2+mx+n有两个零点-1与3，∴
∴f（x）=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴函数的增区间为[1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|）=x2-2|x|-4=
对任意x1，x2∈[t，t+1]，且x1≠x2，都有
∴区间[t，t+1]在函数g（x）的增区间内，∴t≥1，或
解得t≥1，或t=-1．
设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______（写出所有正确条件的编号）
①a=-3，b=-3．②a=-3，b=2．③a=-3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．
正确答案
①③④⑤
解析
解：设f（x）=x3+ax+b，f‘（x）=3x2+a，
①a=-3，b=-3时，令f'（x）=3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=-5，f（-1）=-1；
并且x＞1或者x＜-1时f'（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函数，
所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图
②a=-3，b=2时，令f'（x）=3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（-1）=4；如图
③a=-3，b＞2时，函数f（x）=x3-3x+b，f（1）=-2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；
④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；
⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；
综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则加上下列哪个条件可确定f（x）有唯一零点
（ ）
正确答案
解析
解：A如图，
B如图，
C f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0则函数不会是增函数．C错
D 由已知，函数在（12）内有一个零点，函数在定义域内为减函数，则零点唯一．D对
故选D．
设函数f（x）=x2+m（m∈R）．
（1）如果
（2）如果m=-1，对任意
（3）求h（x）=2f（x）+x|x-m|的最小值．
正确答案
解：（1）方程f（x）-kx=0，即
①若对称轴x=
②若对称轴 x=
③若对称轴 x=
综合得k≤-1或k≥1．…（6分）
（2）当m=-1时，不等式
因为
∴
（3）①当x≥m时，f（x）=3x2-mx+2m，如果m≥0，
②当x≤m时，f（x）=x2+mx+2m，如果m≥0，
由于2m2+2m-
所以
解析
解：（1）方程f（x）-kx=0，即
①若对称轴x=
②若对称轴 x=
③若对称轴 x=
综合得k≤-1或k≥1．…（6分）
（2）当m=-1时，不等式
因为
∴
（3）①当x≥m时，f（x）=3x2-mx+2m，如果m≥0，
②当x≤m时，f（x）=x2+mx+2m，如果m≥0，
由于2m2+2m-
所以
函数y=f（x）的图象在[1，3]上连续不断，且f（1）f（2）＜0，f（2）f（3）＜0，则函数f（x）（ ）
正确答案
解析
解：由根的存在性定理，f（1）f（2）＜0，f（2）f（3）＜0，
则y=f（x）在区间（1，2）上至少有一个零点，
在（2，3）上至少有一个零点，而f（2）≠0，
所以y=f（x）在区间（1，3）上的零点个数为至少2个．
故选C．
若函数f（x）=2x+aex有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A（-
B（-
C（-
D（-
正确答案
解析
解：①当a≥0时，易知函数f（x）=2x+aex是增函数，
故函数f（x）=2x+aex不可能有两个零点；
②当a＜0时，令f′（x）=2+aex=0得，
x=ln（-
故f（x）在（-∞，ln（-
故若函数f（x）=2x+aex有两个零点，
则f（ln（-
即2ln（-
a＞-
故-
故选D．
函数f（x）=lnx-1的零点所在的区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵f（e）=lne-1=0，f（x）在（0，+∞）递增，
而2＜e＜3，
∴函数f（x）=lnx-1的零点所在的区间是（2，3），
故选：C．
已知函数
正确答案
解析
令 y=f（x），y=a，
y=a表示平行于x轴的平行直线系，
直线与函数
有1≤a＜3，
若方程f（x）-a=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为[1，3）．
故选B．
函数f（x）=x-
A（0，1）
B（-1，0）
C（
D（1，+∞）
正确答案
解析
解：令f（x）=x-
解得，x=
故选A．
若函数f（x）=ex+ln x，g（x）=e-x+ln x，h（x）=e-x-ln x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小依次为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=ex+ln x，g（x）=e-x+ln x，h（x）=e-x-ln x，
∴由f（x）=0，g（x）=0，h（x）=0，
得ex+ln x=0，g（x）=e-x+ln x=0，h（x）=e-x-ln x=0，
即-ex=ln x，-e-x=ln x，e-x=ln x，
分别作出函数y=-ex，y=-e-x，y=-e-x，y=ln x的图象如图：
即c＞b＞a，
故选：D．
已知函数g（x）=
正确答案
3
解析
解：当lnx＞0即x＞1时，g（lnx）=1，
∴f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
令f（x）=0，解得：x=1+
当lnx=0即x=1时，g（lnx）=0，
∴f（x）=-x2+1，
令f（x）=0，解得：x=1，x=-1（舍），
当lnx＜0即0＜x＜1时，g（lnx）=-1，
∴f（x）=-x2-2x+1=-（x+1）2+2，
令f（x）=0，解得：x=
∴函数有三个零点，
故答案为：3．
lgx2=6-（|x|-2010）（|x|-2012）的解的个数为______．
正确答案
6个
解析
解：方程lgx2=6-（|x|-2010）（|x|-2012）的解的个数
即 函数y=6-lgx2 与 y=（|x|-2010）（|x|-2012）的交点的个数．
由于这两个函数都是偶函数，图象关于y轴对称，
只要求出当x＞0时的交点个数，再乘以2即得所求．
当x＞0时，
这两个函数的解析式即y=6-2lgx，y=（x-2010）（x-2012），
如图所示：
故当x＞0时，
这两个函数的解析式即y=6-2lgx 与y=（x-2010）（x-2012）有3个交点，
（注意二次函数的图象可与y轴相交，而y=6-2lgx 的图象不与y轴相交），
故方程lgx2=6-（|x|-2010）（|x|-2012）的解的个数为6，
故答案为：6个．
函数f（x）=x2-4xsin
正确答案
4
解析
解：显然0不是函数f（x）=x2-4xsin
故f（x）=x2-4xsin
故可化为函数y=4sin
作函数y=4sin
由图象可知，有4个交点；
故答案为：4．
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