- 函数的应用
- 共9606题
函数f（x）=x2-4x+1的零点有______个．
正确答案
2
解析
解：∵△=16-4＞0，
∴函数f（x）有2个零点．
故答案为：2．
已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=3f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，则当x∈（0，6]时，函数g（x）=f（x）-log3x的零点个数为______．
正确答案
5
解析
又∵当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=3f（x），
∴函数y=f（x）的图象与y=log3x的图象大致如图所示，
数形结合可得图象的交点个数为：5
故答案为：5．
（2015•上海）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为______．
正确答案
{2}
解析
解：∵lg（2x+1）+lgx=1，
∴lg（x（2x+1））=lg10，
∴
解得：x=2．
故答案为：{2}．
已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），
（1）求函数F（x）的定义域及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=
要使函数F（x）有意义，则必须
∴函数F（x）的定义域为D=（-1，1）．
令F（x）=0，则
方程变为
∴（x+1）2=1-x，即x2+3x=0
解得x1=0，x2=-3，
经检验x=-3是（*）的增根，
∴方程（*）的解为x=0，
∴函数F（x）的零点为0．
（2）函数
①当a＞1时，F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数，
②当0＜a＜1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数．
因此问题等价于关于x的方程2m2-3m-5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．
①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数，
∴F（x）∈[0，+∞），
∴只需2m2-3m-5≥0，解得：m≤-1，或
②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数，
∴F（x）∈（-∞，0]，
∴只需2m2-3m-5≤0解得：
综上所述，当0＜a＜1时：
当a＞1时，m≤-1，或
解析
解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=
要使函数F（x）有意义，则必须
∴函数F（x）的定义域为D=（-1，1）．
令F（x）=0，则
方程变为
∴（x+1）2=1-x，即x2+3x=0
解得x1=0，x2=-3，
经检验x=-3是（*）的增根，
∴方程（*）的解为x=0，
∴函数F（x）的零点为0．
（2）函数
①当a＞1时，F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数，
②当0＜a＜1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数．
因此问题等价于关于x的方程2m2-3m-5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．
①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数，
∴F（x）∈[0，+∞），
∴只需2m2-3m-5≥0，解得：m≤-1，或
②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数，
∴F（x）∈（-∞，0]，
∴只需2m2-3m-5≤0解得：
综上所述，当0＜a＜1时：
当a＞1时，m≤-1，或
若函数y=ax-x-a有两个零点，则a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：①当0＜a＜1时，
易知函数y=ax-x-a是减函数，
故最多有一个零点，故不成立；
②当a＞1时，y′=lna•ax-1，
故当ax＜
当ax＞
故y=ax-x-a在R上先减后增，
且当x→-∞时，y→+∞，当x→+∞时，y→+∞，
且当x=0时，y=1-0-a＜0；
故函数y=ax-x-a有两个零点；
故成立；
故选A．
已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的，x，f（x）对应值表如下：
则函数y=f（x）存在零点的区间有（ ）
正确答案
解析
解：根据所给的表格可得 f（2）＞0，f（3）＜0，∴f（2）f（3）＜0，故函数在区间[2，3]上存在零点．
同理可得，函数在区间[4，5]上也存在零点，
故选C．
已知函数f（x）=
（1）若a=1，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[-1，+∞）上为增函数，求a的范围．
正确答案
解：（1）若a=1，由f（x）=0，可得①
解①求得x=
综上可得，函数f（x）的零点为
（2）显然，函数g（x）=x-
函数h（x）=x2+2x+a-1在[-1 
故若函数f（x）在[-1+∞）上为增函数，
则 a+
即a≤-
解析
解：（1）若a=1，由f（x）=0，可得①
解①求得x=
综上可得，函数f（x）的零点为
（2）显然，函数g（x）=x-
函数h（x）=x2+2x+a-1在[-1
故若函数f（x）在[-1+∞）上为增函数，
则 a+
即a≤-
已知函数f（x）满足f（x）=2f（
正确答案
[
解析
解：设x∈[
又因为：函数f（x）满足f（x）=2f（
所以f（x）=2
所以f（x）=
g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有三个零点，即在[
当直线y=ax介于直线l1（过原点和（3，ln3）的直线）和直线l2（当x∈[1，3]时y=lnx的过原点的切线）
易知
设y=lnx过原点的切线切点为（a，lna），则y′=
故
故实数a的范围是
故答案为：
已知函数f（x）=10x-|lg（-x）|有两个零点x1，x2，则（ ）
A
B
C
D1＜x1x2＜e
正确答案
解析
其中，红色曲线为y1的图象，紫色曲线为y2的图象，
设两图象的交点为A，B，其横坐标为x1，x2，
不妨设x1＜-1＜x2，由图可知，|lg（-x1）|＜|lg（-x2）|，
所以，lg（-x1）＜-lg（-x2），因此，lg（x1x2）＜0，
解得，0＜x1x2＜1，----------------------------①
又因为f（-1）=
所以，-1＜x2＜-
所以，x1x2＞
综合①②得，
故答案为：C．
方程
正确答案
解析
解：令f（x）=
f‘（x）=
=
x→-2时，f'（x）→+∞，f'（-1）=-2＜0
∴f（x）在（-2，-1）上存在极大值，
而当x∈（-2，-1）时，
∴f（x）＜0
∴f（x）的极大值小于0，从而在（-2，0）上恒小于0
当x≥0时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增
而f（0）=-
∴函数f（x）在[0，+∞）上有一个零点即方程
故选D．
定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2017x+log2017x，则在R上f（x）零点的个数为______．
正确答案
3
解析
解：x＞0时，f′（x）=
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
取x=2017-2017，则f（2017-2017）=
∴f（2017-2017）＜0，又f（1）=2017＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（-∞，0）也有一个零点；
又f（0）=0；
∴函数f（x）在R上有3个零点．
故答案为：3．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，判断函数f（x）的图象与x轴公共点的个数；
（2）证明：若对x1，x2且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），则方程f（x）=
（3）在（1）的条件下，设f（x）=0的另一根为x0，若方程f（x）+a=0有解证明-2＜x0≤-1．
正确答案
解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，∴判别式△=b2-4ac=（a-c）2＞0，
∴f（x）的图象与x轴有两个相异交点．…（4分）
（2）证明：令g（x）=f（x）-
=
故函数g（x）必在区间（x1，x2）内有零点，
因此方程f（x）=
（3）证明：方程f（x）+a=ax2+bx+a+c=0有解，∴△=b2-4a（a+c）=-（a+c）2-4a（a+c）=（c+a）（c-3a）≥0．…（10分）
∵a＞b＞c，∴c-3a＜0，∴-b=a+c≤0，∴b≥0，∴0≤
再由根与系数的关系得：x0+1=-
∴x0∈（-2，-1]．…（14分）
解析
解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，∴判别式△=b2-4ac=（a-c）2＞0，
∴f（x）的图象与x轴有两个相异交点．…（4分）
（2）证明：令g（x）=f（x）-
=
故函数g（x）必在区间（x1，x2）内有零点，
因此方程f（x）=
（3）证明：方程f（x）+a=ax2+bx+a+c=0有解，∴△=b2-4a（a+c）=-（a+c）2-4a（a+c）=（c+a）（c-3a）≥0．…（10分）
∵a＞b＞c，∴c-3a＜0，∴-b=a+c≤0，∴b≥0，∴0≤
再由根与系数的关系得：x0+1=-
∴x0∈（-2，-1]．…（14分）
设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，如果函数y=f（x）-g（x）在区间[a，b]上有k（k∈N*）个不同的零点，那么称函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上为“k阶关联函数”．现有如下三组函数：
①f（x）=x，g（x）=sin
②f（x）=2-x，g（x）=lnx；
③f（x）=|x-1|，g（x）=
其中在区间[0，4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是______．（写出所有满足条件的函数组的序号）
正确答案
①③
解析
解：①∵sin
故成立；
②∵2-x=lnx在[0，4]上有一个解，
故不成立；
③∵|x-1|=
∴有两个解，故成立．
故答案为：①③．
若方程xlg（x+2）=1的实根在区间（k，k+1）（k∈z）上，则 k=（ ）
正确答案
解析
从图象上可得出：方程xlg（x+2）=1在区间（-2，-1）和（1，2）内各有一个实根．
下面证明：方程xlg（x+2）=1在区间（-2，-1）和（1，2）内各有一个实根⇔函数f（x）=xlg（x+2）-1，在区间（-2，-1）和（1，2）内各有一个零点
函数f（x）=xlg（x+2）-1在区间（1，2）是增函数，
又f（1）=lg3-1＜0，f（2）=2lg4-1＞0，
即f（1）×f（2）＜0
由零点存在性定理知，函数f（x）=xlg（x+2）-1在区间（1，2）内仅有一个零点
即方程xlg（x+2）=1在区间（1，2）内有且仅有一个实根，
同理得方程xlg（x+2）=1在区间（-2，-1）内有且仅有一个实根，
故选C．
已知
正确答案
解析
即：
由题意可知：要研究函数
画出函数y=
由图象可得有4个交点．
故选D．
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