- 微积分基本定理
- 共280题
由直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=（ ）
正确答案
抛物线y2=4x与过它的顶点倾斜角为45°的直线l所围成的图形的面积是______．
正确答案
抛物线y2=4x的顶点为（0，0）则直线l的方程为y=x
∴直线l所围成的图形的面积是
故答案为：
已知函数
（1）当
（2）若
（3）在（2）的条件下，求直线
正确答案
解：（1）∵
（2）由（1）知，当
∴当
∴
（3）由
动点P在x轴与直线l：y=3之间的区域（含边界）上运动，且到点F(0，1)和直线l的距离之和为4，
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点Q(0，-1)作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．
正确答案
解：(Ⅰ)设P（x，y），
根据题意，得
化简，得
(Ⅱ)设过Q的直线方程为y=kx-1，
代入抛物线方程，整理得x2-4kx+4=0，
由△=16k2-16=0，解得k=±1，
于是所求切线方程为y=±x-1，（亦可用导数求得切线方程）
切点的坐标为(2，1)，(-2，1)，
由对称性知所求的区域的面积为
如图，过曲线C：y=ex上一点P0(0，1)作曲线C的切线l2交x轴于点Q1(x1，0)，又x轴的垂线交曲线C于点P1(x1，y1)，然后再过P1(x1，y1)作曲线C的切线l1交x轴于点Q2(x2，0)，又过Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2 (x2，y2)，……，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1(xn+1，0)，再过点Qn+1作x轴的垂线交曲线C于点Pn+1(xn+1，yn+1)(n∈N*)，
(1)求x1、x2及数列{xn}的通项公式；
(2)设曲线C与切线ln及直线PQ所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；
(3)在满足(2)的条件下，若数列{Sn}的前n项和为Tn，求证：
正确答案
(1)解：由y′=ex，设直线ln的斜率为kn，则
∴直线ln的方程为y=x+1，
令y=0，得x1=-1，
∴
∴直线l1的方程为
令y=0，得x2=-2，
一般地，直线ln的方程为
由于点
∴数列{xn}是首项为-1，公差为-1的等差数列，
∴
(2)解：
(3)证明：
∴
要证明
只要证明
即只要证明，
∴不等式
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