圆与圆的位置关系及其判定
共316题

· 圆与圆的位置关系及其判定

圆与圆的位置关系及其判定
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题型：简答题

简答题

已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0．

（1）m取何值时两圆外切？

（2）m取何值时两圆内切？

（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

正确答案

（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，

两圆的圆心距d==5，两圆的半径之和为+，

由两圆的半径之和为+=5，可得 m=25+10．

（2）由两圆的圆心距d==5 等于两圆的半径之差为|-|，

即|-|=5，可得 -=5 （舍去），或 -=-5，解得m=25-10．

（3）当m=45时，两圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，

把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0．

第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d==2，可得弦长为 2=2．

题型：简答题

简答题

（文）已知一个动圆与圆M1：（x+1）2+y2=1外切，同时又与圆M2：（x-1）2+y2=25内切．

（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（II）设经过圆M1的圆心且不与坐标轴垂直的直线交（Ⅰ）中的轨迹C于两点A、B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求G点横坐标的取值范围．

正确答案

（I）不妨记圆M1，M2的圆心分别为M1，M2

由题意可知，动圆M与定圆与定圆M1相外切与定圆M2相内切

∴MM1=r+1，MM2=5-r（2分）

∴MM1+MM2=6＞M1M2=2（3分）

∴动圆圆心M的轨迹是以M1，M2为焦点的椭圆

由椭圆的定义可知，c=1，a=3，b2=a2-c2=8（4分）

∴所求的轨迹C的方程为+=1（5分）

（II）由题意可知，直线AB过圆M1的圆心且不与坐标轴垂直，故可设直线AB的方程为y=k（x+1），k≠0

联立可得（9k2+8）x2+18k2x+9k2-72=0（6分）

∴（7分）

设线段AB的中点为P（x0，y0），则x0=，y0=（9分）

过点P（x0，y0）且垂直于AB的直线l2的方程为

y-=-(x+)（11分）

令y=0可得点G的横坐标x=-=-+，k≠ 0

∴-＜x＜0

∴所求的x的范围是(-，0)（13分）．．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=9．

（1）判断两圆的位置关系；

（2）求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C2截得的弦长是6．

正确答案

（1）由于圆C1的圆心C1（-3，1），半径r1=2；圆C2的圆心C2（4，5），半径r2=2．可得两圆的圆心距C1C2==＞r1+r2，

∴两圆相离．

（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，

用两点式求得得连心线所在直线方程为：=，即 4x-7y+19=0．

题型：简答题

简答题

求与圆（x-3）2+y2=1及（x+3）2+y2=9都外切的动圆圆心的轨迹方程．

正确答案

设动圆的圆心为P，半径为r，

而圆（x+3）2+y2=9的圆心为M1（-3，0），半径为3；

圆（x-3）2+y2=1的圆心为M2（3，0），半径为1．

依题意得|PM1|=3+r，|PM2|=1+r，

则|PM1|-|PM2|=（3+r）-（1+r）=2＜|M1M2|，

所以点P的轨迹是双曲线的右支．

且：a=1，c=3，b2=8

其方程是：

x2-=1(x＞0)．

题型：简答题

简答题

已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+)．

（I）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（II）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

正确答案

（I）由得x2+y2=1即为圆C1的普通方程．

又∵ρ=2cos（θ+）=cosθ-sinθ，

∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ．

∴x2+y2-x+y=0，即(x-)2+(y+)2=1．

（II）圆心距d==1＜2，得两圆相交．

由两圆的方程联立得，解得或

即A（1，0），B(-，-)，

∴|AB|==．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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