热门试卷

（1）函数的定义域为（-1，1）

∵f(-x)=ln=ln=-f(x)

∴f（x）是奇函数；

（2）由题意，∴0＜x＜1

f(x)=ln，即=

∵0＜x＜1，∴x2+2x-1=0

∴x=-1±，

∵0＜x＜1，∴x=-1；

（3）由题意，，∴0＜x＜1

不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx等价于ln+ln（1-x）＞1+lnx

∴1+x＞ex

∴x＜

∵0＜x＜1，∴0＜x＜

∴不等式的解集为（0，）．

（1）∵f（x）=，且f（1）=，

∴=，即a+b=2；

又=x有且仅有一个实数解，

∴x（）=0有且仅有一个实数解，为0．

∴b=1，a=1．

∴f（x）=．

（2）由（1）知，P（x，），

|AP|2=(

x

x+1

-2)2+x2

=(

-x-2

x+1

)2+x2

=(

1

x+1

+1)2+[（x+1）-1]2，

令t=，

则|AP|2=t2+2t+1+(

1

t

)2-+1

=(t-

1

t

)2+2（t-）+4，

令r=t-，

则|AP|2=r2+2r+4=（r+1）2+3，

∴当r=-1，即t-=-1，t=时，|AP|的最小值为．

（3）∵x∈（，]，

∴x+1＞＞0，

∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立⇔x＞m（m-x）-1恒成立⇔（1+m）x＞m2-1，

当m+1＞0，即m＞-1时，

有m-1＜x恒成立⇔m＜x+1⇔m＜（x+1）min，

∴-1＜m＜；

当m+1＜0，即m＜-1时，同理可得m＞（x+1）max=，

∴此时m不存在．

综上得-1＜m＜．

（1）f（x）为奇函数．证明如下：

函数定义域为R，关于原点对称，

又f（-x）===-=-f（x），

所以函数f（x）为奇函数；

（2）证明：f（x）=1-，

任取x1，x2，且x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）=（1-）-（1-）=，

因为x1＜x2，所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，

所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

故f（x）在R上为增函数；

（3）证明：令g（x）=f（x）-lnx=1--lnx，

因为g（1）=＞0，g（3）=1--ln3=-ln3＜0，

又g（x）在（1，3）上图象连续不断，

所以函数g（x）在（1，3）上至少有一个零点，

即方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．

（I）F（x）=ag（x）-f（x）=ax2-lnx，

F′（x）=ax-=   （x＞0）

∴函数F（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数

若F（x）没有零点，须且只须F（）＞0，

即+lna＞0，即+lna＞0

设g（a）=+lna，∵g′（a）=

∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0

∴g（a）＞0，即当a＞0时，+lna＞0恒成立

故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞）

（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）成立，

即若x1＞x2＞0，总有mg（x1）-x1f（x1）＞mg（x2）-x2f（x2）成立，

即函数h（x）=mg（x）-xf（x）=mx2-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，

即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立

即m≥在（0，+∞）上恒成立

设G（x）=，则G′（x）=

∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，

∴G（x）≤G（1）=1

∴m≥1

（I）要使函数（x）=f（x）-g（x）有意义，

则，解得-1＜x＜1，

即函数的定义域为（-1，1）关于原点对称．

∵F（x）=f（-x）-g（-x）=loga（1+x）-loga（1-x）

=-[f（x）-g（x）]=F（-x），

∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数；

（II）方程g（m+2x-x2）=f（x）有实数根，

即loga[1+(m+2x-x2)]=loga(1-x)

所以1+m+2x-x2=1-x，即m=x2-3x有实数根，

由-1＜1-x＜1，得0＜x＜2．

∵m=x2-3x=(x-)2-，0＜x＜2，

∴-≤m＜0．

（Ⅲ）因为f（n-x）=loga（1-n+x），

g（x）=loga(1+x)，

所以由a＞1且f（n-x）＞g（x）

得1-n+x＞，

设t=，则1≤t≤，

所以不等式等价为t2-n＞t，

即n＜t2-t，

设g（t）=t2-t，则g(t)=(t-)2-，

所以当t=1，即x=0时，g（t）有最小值0．

所以n＜0．

（Ⅰ）由题意，当a=1时，f（x）=x2|x-1|，

当x≤1时，由f（x）=x2（1-x）=x，解得x=0；

当x＞1时，由f（x）=x2（x-1）=x，解得x=．

综上，所求解集为{0，}．

（Ⅱ）可以对a进行如下分类讨论：

（1）当a=0时，f（x）=x2|x|=f（-x），x∈R，显然，函数f（x）是偶函数．

（2）当a≠0时，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|

显然f（1）≠f（-1）≠-f（1），

故函数f（x）是非奇非偶函数．

（Ⅲ）设此最小值为m，当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax2-x3，f′(x)=2ax-3x2=3x(a-x)．

（1）若a≥3，在区间（1，2）内f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，

由此得m=f（1）=a-1．

（2）若2＜a＜3，则1＜a＜2．

当1＜x＜a时，f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，a]上的增函数；

当a＜x＜2时，f'（x）＜0，从而f（x）为区间[a，2]上的减函数．

因此，当2＜a＜3时，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．

当2＜a≤时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2）；

当＜a＜3时，a-1＜4（a-2），故m=f（1）=a-1．

综上所述，所求函数的最小值m=．

（Ⅰ）（1）当a=0时，g（x）=x，直线与x轴的交点为O（0，0），即函数y=g（x）的零点为0，不在原点右侧，不满足条件．（1分）

（2）当a=1时，g（x）=x2，抛物线的顶点为O（0，0），即函数y=g（x）的零点为0，不在原点右侧，不满足条件．（2分）

（3）当0＜a＜1时，g（x）=ax2-（a-1）x=a（x-）2-，抛物线开口向上且过原点，对称轴x=＜0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数y=g（x）的零点不在原点右侧，不满足条件．（3分）

（4）当a＞1时，g（x）=ax2-（a-1）x=a（x-）2-，抛物线开口向上且过原点，对称轴x=＞0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y=g（x）有一个零点在原点右侧，满足条件．（4分）

（5）当a＜0时，g（x）=ax2-（a-1）x=a（x-）2-，抛物线开口向下且过原点，对称轴x=＞0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y=g（x）有一个零点在原点右侧，满足条件．（5分）

综上可得，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．（6分）

（Ⅱ）假设函数G（x）存在“中值相依切线”．

设A（x1，y1），B（x2，y2），是曲线y=G（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，

则y1=lnx1-a+（a-1）x1，y2=lnx2-a+（a-1）x2．

kAB=-a（x1+x2）+（a-1）（8分）

曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=G′（x0）=-a•+(a-1)，（9分）

依题意得：-a（x1+x2）+（a-1）=-a•+(a-1)．

化简可得：=，即ln=．（11分）

设=t（t＞1），上式化为：lnt=2-，即lnt+=2．（12分）

令h（t）=lnt+，则h′（t）=．

因为t＞1，显然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上递增，显然有h（t）＞2恒成立．

所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+=2成立．

综上所述，假设不成立．

所以函数G（x）不存在“中值相依切线”．（14分）

（1）当a=时，f′(x)=x2+2bx+b-，…（1分）

依题意　f′(x)=x2+2bx+b-＞-即x2+2bx+b＞0恒成立

∴△=4b2-4b＜0，解得　0＜b＜1

所以b的取值范围是（0，1）…（4分）

（2）因为f（x）=ax3+bx2+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3-ax，f'（x）=3ax2-a．

又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x3-x．…（6分）

∴f（x）在(-∞，-)，(，+∞)上是单调递增函数，在[-，]上是单调递减函数，

由f（x）=0解得x=±1，x=0，…（7分）

法一：如图所示，作y=f（x）与y=-的图象，若只有一个交点，则

①当-1＜t≤-时，f(t)≥-t≥0，即t3-t≥-，解得-≤t≤-；

②当-＜t＜0时，f(t)＞-t≥0，解得-＜t＜0；③当t=0时，不成立；

④当0＜t≤时，f(t)≤-t＜0，即t3-t≤-，解得0＜t≤；

⑤当1≥t＞时，f(t)＜-t＜0，解得＜t＜；

⑥当t＞1时，1-=f()⇒t=.y=-…（13分）

综上t的取值范围是-≤t＜0或0＜t＜或t=．…（14分）

法二：作y=f（x）与y=-x的图知交点横坐标为x=±，x=0

当x∈[-，0)∪(0，)∪{}时，过y=-x图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f（x）都只有唯一交点，当x取其它任何值时都有两个或没有交点．

所以当t∈[-，0)∪(0，)∪{}时，方程f(x)=-t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根．