函数模型及其综合应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 14 分

17．如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？

正确答案

选址应满足千米，千米.

解析

试题分析：本题属于解三角形应用题，题目的理解有一定难度，要注意读懂题意，选择函数模型来解决是本题的关键。

解法一：由条件①，得.

设，

则，

所以点到直的距离

，

所以当，即时，取得最大值15千米.

即选址应满足千米，千米.

解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.

则.

由条件①，得.

设，则，

化简得，，

即点的轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆.

则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米.

所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可

考查方向

本题考查了解三角形的应用题，分清条件和结论，理顺数量关系，建立相应数学模型，利用正弦定理、余弦定理求解数学模型，得出数学结论。

解题思路

本题解三角形的应用题，解题步骤如下：

1、弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系。

2、建立相应数学模型。

3、利用正弦定理、余弦定理、求函数最值求解数学模型。

4、得出数学结论。

易错点

1、不能准确读懂题意，理顺数量关系。

2、转化为解三角形问题时，点到直线的距离要尽可能大的理解与求解。

知识点

根据实际问题选择函数类型利用导数求函数的最值

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题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：

①，；②；③.

能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足，则=_____________.

正确答案

③,

解析

略

知识点

函数模型的选择与应用

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为，记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）。

（1）写出与的函数关系式；

（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。

正确答案

见解析。

解析

(1)改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），

∴与的函数关系式为，

(2)由得，（舍）,

当时；当时，

∴函数在时取得最大值。

故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大，

知识点

函数模型的选择与应用利用导数求函数的最值

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个最接近的近似根为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

函数模型的选择与应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。

正确答案

（1）10千米；（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标

解析

（1）在中，令，得。

由实际意义和题设条件知。

∴，当且仅当时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，

即关于的方程有正根。

由得。

此时，（不考虑另一根）。

∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

知识点

函数模型的选择与应用

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题. 实践证明，声音强度（分贝）由公式（、为非零常数）给出，其中（）为声音能量.

（1）当声音强度、、满足时，求对应的声音能量、、满足的等量关系式；

（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为分贝. 当声音强度大于分贝时属于噪音，一般人在分贝～分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪. 问声音能量在什么范围内时，人会暂时性失聪.

正确答案

（1）（2）当声音能量时，人会暂时性失聪

解析

（1）

（2）由题意得

答：当声音能量时，人会暂时性失聪.

知识点

对数的运算性质函数模型的选择与应用

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21。某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足.已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是

（1）写出2013年第x月的旅游人数（单位：人）与x的函数关系式；

（2）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，， ……2分

当，且时，

…4分

验证符合 ……6分

（2）第月旅游消费总额为

即 ……8分

当，且时，，令，

解得，（舍去）. 当时，，当时，，

当时，（万元）. ……10分

当，且时，是减函数，当时，（万元），

综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大消费总额为3125万元. …12分

知识点

函数的最值函数模型的选择与应用利用导数求函数的最值

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

17.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克，求如何安排生产计划，才能使公司获得最大的利润？求出最大利润.

正确答案

解：设每天生产甲产品桶、乙产品桶，每天的利润为，…………2分

由题意，满足， …………5分

可行域如图所示，

…………7分

把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大. …………8分

解方程组，得点的坐标为，， …………10分

所以元， …………12分

答：每天生产甲产品桶、乙产品桶时，能获得最大利润，最大利润为2800元. …………13分

解析

解：设每天生产甲产品桶、乙产品桶，每天的利润为，…………2分

由题意，满足， …………5分

可行域如图所示，

…………7分

把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大. …………8分

解方程组，得点的坐标为，， …………10分

所以元， …………12分

答：每天生产甲产品桶、乙产品桶时，能获得最大利润，最大利润为2800元. …………13分

考查方向

简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）等考点的理解

解题思路

线性规划问题求解步骤：

（1）确定目标函数；

（2）作可行域；

（3）作基准线（z=0时的直线）；

（4）平移找最优解；

（5）求最值。

易错点

简单的线性规划中可行域的确定

教师点评

根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可

知识点

根据实际问题选择函数类型

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

正确答案

见解析

解析

解：（1）

（2）根据题意，

所以恒成立

即恒成立

考查方向

本题考查了函数不等式的应用及换元思想的构建．

解题思路

本题考查函数不等式的应用．解题步骤如下：

（1）求出函数表达式。

（2）根据函数值域，列出不等式。

（3）用换元法求出的取值范围

易错点

不等式恒成立分析不够

知识点

根据实际问题选择函数类型

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正确答案

解析

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教师点评

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