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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数

(1)求函数的最小正周期和值域;

(2)若,求的值。

正确答案

(1)f(x)的最小正周期为2,值域为

(2)

解析

(1)由已知,f(x)=

所以f(x)的最小正周期为2,值域为

(2)由(1)知,f()=

所以cos()。

所以

知识点

三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域三角函数中的恒等变换应用二倍角的正弦二倍角的余弦
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知

(1)若,求证:

(2)设,若,求的值。

正确答案

见解析

解析

(1)ab=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),

|ab|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,

所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,

所以,

(2),①2+②2得:cos(α-β)=-。

所以,α-β=,α=+β,

带入②得:sin(+β)+sinβ=cosβ+sinβ=sin(+β)=1,

所以,+β=

所以,α=,β=

知识点

三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知函数,若,则_____________。

正确答案

2

解析

对数函数题,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算敏感;

知识点

三角函数中的恒等变换应用
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的通项公式。

正确答案

(1)1; (2) an=3·2n-1-2

解析

(1)由题意有

S1=T1=2S1-1。

故a1=2a1-1。

于是a1=1。

(2)由Tn=2Sn-n2

Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,n≥2。

从而Sn=Tn-Tn-1=2an-(2n-1),n≥2。

由于a1=S1=1,故对一切正整数n都有Sn=2an-(2n-1),①

因此Sn-1=2an-1-(2n-3),n≥2。②

①-②得an=2(an-an-1)-2,n≥2。

于是an=2an-1+2,

故an+2=2(an-1+2),n≥2。

∵a1+2=3,

∴{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列。

∴an=3·2n-1-2

知识点

三角函数中的恒等变换应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

函数f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx的最大值为 1 。

正确答案

1

解析

∵f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin(x﹣φ)。

∴f(x)的最大值为1

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数)的最小正周期为

(1)求的值;

(2)将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到

函数的图像,求函数在区间上的最小值。

正确答案

见解析。

解析

因此 1g(x),故 g(x)在此区间内的最小值为1.

知识点

函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数,xR

(1)求的最小正周期和最小值;

(2)已知,求证:

正确答案

见解析

解析

(1)

,∴的最小正周期,最小值

(2)证明:由已知得

两式相加得,∵,∴,则

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(1,﹣cosθ),若=0,则tanθ= 。

正确答案

解析

=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0,0<θ<

∴2sinθ﹣cosθ=0,∴tanθ=

知识点

三角函数中的恒等变换应用
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题型:简答题
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简答题 · 12     分

已知函数.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)若α是第二象限角,,求cos α-sin α的值。

正确答案

(1)函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)cos α-sin α=

解析

(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z

,k∈Z,得,k∈Z

所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)由已知,有,所以,

即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α)。

当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知,k∈Z.

此时,.

当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2.

由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,

此时cos α-sin α=.

综上所述,cos α-sin α=.

知识点

三角函数中的恒等变换应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若直线与圆有公共点,则实数取值范围是

A[-3 ,-1 ]

B[ -1 , 3 ]

C[ -3 ,1 ]

D(-  ,-3 ]  U  [ ,+  )

正确答案

C

解析

的圆心到直线的距离为

知识点

三角函数中的恒等变换应用
下一知识点 : 诱导公式的推导
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