- 简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）
- 共6491题
一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤．但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元．现该农民手头有400元．
（1）设该农民种x亩水稻，y亩花生，利润z元，请写出约束条件及目标函数；
（2）问两种作物各种多少，才能获得最大收益？
正确答案
解：（1）约束条件为
目标函数为z=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y
…（7分）
（2）作出可行域如图所示，…（9分）
把z=960x+420y变形为y=
得到斜率为-
随z变化的一族平行直线；当直线y=
经过可行域上的点B时，截距
解方程组 
故当x=1.5，y=0.5时，zmax=1650元 …（13分）
答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．…（14分）
解析
解：（1）约束条件为
目标函数为z=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y
…（7分）
（2）作出可行域如图所示，…（9分）
把z=960x+420y变形为y=
得到斜率为-
随z变化的一族平行直线；当直线y=
经过可行域上的点B时，截距
解方程组
故当x=1.5，y=0.5时，zmax=1650元 …（13分）
答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．…（14分）
已知x、y满足以下约束条件
正确答案
解析
要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，
则截距最小时的最优解有无数个．
∵a＞0
把x+ay=z平移，使之与可行域中的边界AC重合即可，
∴-a=-1
∵a=1
故选D．
若任意满足
正确答案
解析
又∵a（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立．
且
故只求
由图象可知：
∴当
故
所以答案为
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-2bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；
（2）设点（a，b）是区域
正确答案
当a=1，b=±1，即满足条件的有2个，
则根据古典概型的概率公式可得方程f（x）=0有两相等实根的概率为：
（2）∵a＞0，
∴若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（8，0），B（0，8），C（4，4），
则由几何概型的概率公式可得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为
解析
当a=1，b=±1，即满足条件的有2个，
则根据古典概型的概率公式可得方程f（x）=0有两相等实根的概率为：
（2）∵a＞0，
∴若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（8，0），B（0，8），C（4，4），
则由几何概型的概率公式可得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为
某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90千克，乙采用一种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产产品100千克，若每日预算总成本不得超过6500元，运费不得超过2200元，问此工厂如何安排每日可生产产品最多？最多生产多少千克？
正确答案
解：设采用甲种原料x吨，乙种原料y吨．生产产品z千克，
依题意可得线性约束条件
目标函数为z=90x+100y，
作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示
将z=90x+100y变形为y=
当直线y=
即直线y=
由
所以当x=2，y=3时，zmax=90×2+100×3=480．
解析
解：设采用甲种原料x吨，乙种原料y吨．生产产品z千克，
依题意可得线性约束条件
目标函数为z=90x+100y，
作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示
将z=90x+100y变形为y=
当直线y=
即直线y=
由
所以当x=2，y=3时，zmax=90×2+100×3=480．
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