- 简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）
- 共6491题
设实数x，y满足不等式组
（1）作出点（x，y）所在的平面区域并求出x2+y2的取值范围；
（2）设m＞-1，在（1）所求的区域内，求Q=y-mx的最值．
正确答案
解：（1）将不等式去绝对值，化简为：
平面区域为如图所示的四边形DEFG及其内部，其中D（-3，7），E（0，1），F（2，-1），G（3，1）；
由图可知，当动点（x，y）与点D（-3，7）重合时，
x2+y2达到最大值，最大值为OD2=9+49=58；
当动点（x，y）与原点在直线EF上的射影重合时，
x2+y2达到最小值，最小值为
∴x2+y2的取值范围是[
（2）作直线l：Q=y-mx，则它的斜率k=m（k＞-1）
运动直线l，并观察图形可得：
①当-1＜k≤2即-1＜m≤2时
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Qmax=7+3m；
平移l到经过F点时，Q=y-mx值最小Qmin=-1-2m
②当k＞2，即m＞2时，
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Qmax=7+3m
平移l到经过G点时，Q=y-mx值最小Qmin=1-3m．
解析
解：（1）将不等式去绝对值，化简为：
平面区域为如图所示的四边形DEFG及其内部，其中D（-3，7），E（0，1），F（2，-1），G（3，1）；
由图可知，当动点（x，y）与点D（-3，7）重合时，
x2+y2达到最大值，最大值为OD2=9+49=58；
当动点（x，y）与原点在直线EF上的射影重合时，
x2+y2达到最小值，最小值为
∴x2+y2的取值范围是[
（2）作直线l：Q=y-mx，则它的斜率k=m（k＞-1）
运动直线l，并观察图形可得：
①当-1＜k≤2即-1＜m≤2时
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Qmax=7+3m；
平移l到经过F点时，Q=y-mx值最小Qmin=-1-2m
②当k＞2，即m＞2时，
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Qmax=7+3m
平移l到经过G点时，Q=y-mx值最小Qmin=1-3m．
（1）如图在所给的坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域；
（2）求k=x+3y的取值范围；
（3）在不等式组所表示的平面区域内，求点（x，y）落在x∈[1，2]区域内的概率．
正确答案
（2）当直线k=x+3y过点（0，0）时，k最小值为0．
当直线k=x+3y过点A（0，3）时，k最大值为9．
故k=x+3y的取值范围为：[0，9]．
（3）面积S=
其中落在x∈[1，2]区域内的面积为1
故点（x，y）落在x∈[1，2]区域内的概率P=
解析
（2）当直线k=x+3y过点（0，0）时，k最小值为0．
当直线k=x+3y过点A（0，3）时，k最大值为9．
故k=x+3y的取值范围为：[0，9]．
（3）面积S=
其中落在x∈[1，2]区域内的面积为1
故点（x，y）落在x∈[1，2]区域内的概率P=
设变量x，y满足
正确答案
解析
令z=2x+3y可得y=
作直线l：2x+3y=0
把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，
由
故选D
实数x，y满足
正确答案
解析
不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0时，直线y=-ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若-a＞0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z经过点A，D时满足条件，此时-a=1，解得a=-1．
若-a＜0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时z=ax+y取得最大值的最优解有1个或者无数个，不满足条件．
综上满足条件的a=-1，即z=-x+y+1，
则y=x+z-1，当直线y=x+z-1经过B（1，0），C（0，-1）时，目标函数取得最小值，
此时z=-1+0+1=0，
故选：A
已知x，y满足约束条件
正确答案
解析
解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=-3x+z，
平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，
故a=2，
故选：B
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