简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）
共6491题

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简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）
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题型：单选题

单选题

（2015春•黑龙江期末）不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx-1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（　　）

A（0，3]

B[-1，3]

C（-∞，-1）∪[3，+∞）

D（-∞，1]∪[3，+∞）

正确答案

解析

解：作出不等式组表示的平面区域，如图示：

得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω

其中A（，-1，0），B（-1，4），C（1，2）

∵直线y=kx-1经过定点M（0，-1），

∴当直线y=kx-1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）

∵直线CM的斜率k==3，直线AM的斜率k=-1，

∴k＞0时，直线y=kx-1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3，+∞），

k＜0时，直线y=kx-1斜率的最大值为-1，可得实数k的取值范围为（-∞，-1]，

故选：C．

题型：单选题

单选题

一个平行四边形的三个顶点的坐标为（-1，2），（3，4），（4，-2），点（x，y）在这个平行四边形的内部或边上，则z=2x-5y的最大值与最小值的和等于（　　）

C-12

D-24

正确答案

解析

解：∵平行四边形的三个顶点的坐标为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），

∴对应的平行四边形可能是EACB或者ABCD或ABFC，

平移直线z=2x-5y，

由图象可知当直线经过点D时，直线z=2x-5y的截距最小，此时z最大，

设D（x，y），

则满足，即（4，2）=（4-x，-2-y），

即4-x=4且-2-y=2，解得x=0，y=-4，即D（0，-4），

代入目标函数得z=-5×（-4）=20，

当直线经过点E时，直线z=2x-5y的截距最大，此时z最小，

设E（x，y），

则满足=，即（-1，6）=（x+1，y-2），

即x+1=-1且y-2=6，解得x=-2，y=8，即E（-2，8），

代入目标函数得z=-4-40=-44，

故z=2x-5y的最大值与最小值的和等于-44+20=-24．

故选：D．

题型：简答题

简答题

某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙，从仓库A运货物给甲、乙、丙每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能得到从两个仓库货物到三个商店的总运费最少？

正确答案

解：将已知数据列成下表：

设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为（12-x-y）吨，

从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为（7-x）吨、（8-y）吨、[5-（12-x-y）]=（x+y-7）吨，

于是总运费为：Z=8x+6y+9（12-x-y）+3（7-x）+4（8-y）+5（x+y-7）=x-2y+126．

∴线性约束条件为，即．

目标函数为：z=x-2y+126．作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示：

作出直线l：x-2y=0，把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点（0，8），

在可行域内，z=x-2y+126．

取得最小值zmin=0-2×8+126=110，即x=0，y=8时总运费最少．

安排的调运方案如下：

仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，

仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．

解析

解：将已知数据列成下表：

设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为（12-x-y）吨，

从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为（7-x）吨、（8-y）吨、[5-（12-x-y）]=（x+y-7）吨，

于是总运费为：Z=8x+6y+9（12-x-y）+3（7-x）+4（8-y）+5（x+y-7）=x-2y+126．

∴线性约束条件为，即．

目标函数为：z=x-2y+126．作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示：

作出直线l：x-2y=0，把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点（0，8），

在可行域内，z=x-2y+126．

取得最小值zmin=0-2×8+126=110，即x=0，y=8时总运费最少．

安排的调运方案如下：

仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，

仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．

题型：简答题

简答题

已知2ax2+bx-3a+1≥0，在x∈[-4，4]上恒成立，求5a+b的最小值．

正确答案

解：由2ax2+bx-3a+1≥0恒成立，得a≤．

①0＜a≤时，问题等价于（1）或（2）或f（-）≥0（3）．

由（1）得，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点O（0，0）时，取得最小值0；

由（2）得对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点A（）时，取得最小值-

由（3）得24a2-8a+b2≤0，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点B（）时，取得最小值-；

②a≤0时，问题等价于，即，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点C（0，-）时，取得最小值-，

综上，a=，b=-时，取得最小值-．

解析

解：由2ax2+bx-3a+1≥0恒成立，得a≤．

①0＜a≤时，问题等价于（1）或（2）或f（-）≥0（3）．

由（1）得，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点O（0，0）时，取得最小值0；

由（2）得对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点A（）时，取得最小值-

由（3）得24a2-8a+b2≤0，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点B（）时，取得最小值-；

②a≤0时，问题等价于，即，对应的区域如图所示，由图知，直线z=5a+b经过点C（0，-）时，取得最小值-，

综上，a=，b=-时，取得最小值-．

题型：填空题

填空题

已知x，y满足，不等式x2+9y2≥axy恒成立，则a的取值范围为______．

正确答案

a≤

解析

解：等价于或，

作出可行域，得到可行域为△ABC，顶点坐标分别为A（3，2），B（2，3），C（1，2），

把A（3，2）代入x2+9y2≥axy，得a≤；

把B（2，3）代入x2+9y2≥axy，得a≤；

把C（1，2）代入x2+9y2≥axy，得a≤．

∴a的取值范围为：．

故答案为：．

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